직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.4절 · 12번

CLP-3 · 1.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

점 $(1,2,3)$ 에서 세 점 $(0,1,1)$ , $(1,-1,3)$ , $(2,0,-1)$ 을 지나는 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from the point $(1,2,3)$ to the plane that passes through the points $(0,1,1)$ , $(1,-1,3)$ and $(2,0,-1)$ .

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정답·풀이 보기

두 벡터

$\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}$

는 모두 평면 안에 완전히 놓여 있다. 따라서 벡터

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>$

은 평면에 수직이다. 벡터 $\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right>$ 도 평면에 수직이다. 벡터

$\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>$

는 평면 위의 점과 주어진 점을 잇는다. 따라서 $\theta$ 가 $\mathbf{d}$ 와 $\mathbf{c}$ 사이의 각이면, 거리는

$|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The two vectors

$\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}$

both lie entirely inside the plane. So the vector

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>$

is perpendicular to the plane. The vector $\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right>$ is also perpendicular to the plane. The vector

$\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>$

joins the point to the plane. So, if $\theta$ is the angle between $\mathbf{d}$ and $\mathbf{c}$ , the distance is

$|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.3절 · 1번우리말 번역

$\mathbb R^2$ 에서 직선이 방향 $\mathbf d$ 를 가지고 점 $\mathbf c$ 를 지납니다.

다음 중 이 직선의 매개변수 방정식은 $\left< x,y\right> =\mathbf c + t\mathbf d$ 와 $\left< x,y\right> =\mathbf c - t\mathbf d$ 중 어느 것인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$t$ 는 어떤 실수라도 될 수 있으므로 두 방정식은 같은 직선을 나타낸다. 둘 다 옳다. 예를 들어, 첫 번째 매개변수 방정식에서 $t=7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c + 7\mathbf d$ 는 두 번째 매개변수 방정식에서 $t=-7$ 일 때의 점, 즉 $\mathbf c -(-7)\mathbf d$ 와 정확히 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류