직선과 평면의 방정식

(a) $\mathbf{a}$ 의 마주 보는 변의 중점은 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. $\mathbf{a}$ 에서 그 중점까지 잇는 벡터는 $\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 이다. $\mathbf{a}$ 와 $\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 를 지나는 직선의 벡터 매개변수 방정식은

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)$$

이다. 나머지 두 중선도 마찬가지로 ($t$ 대신 $s$ 와 $u$ 를 매개변수로 사용하여) 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}$$

(b) 세 중선이 한 점에서 만나려면 다음을 만족하는 $s,t$ 와 $u$ 의 값이 있어야 한다.

$$\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}$$

삼각형이 선분으로 퇴화하지 않았다고 가정하면, 이는 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 의 계수가 각각 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다.

$$\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}$$

즉

$$s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}$$

이다. 세 중선은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 에서 만난다.