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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

(1,2,3)(1,2,3)과 (5,2,7)(5,2,7)로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합을 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the set of points equidistant from (1,2,3)(1,2,3) and (5,2,7)(5,2,7).

정답·풀이 보기

점 (x,y,z)(x,y,z)에서 (1,2,3)(1,2,3)까지의 거리는 (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}이고, (x,y,z)(x,y,z)에서 (5,2,7)(5,2,7)까지의 거리는 (x−5)2+(y−2)2+(z−7)2\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2}이다. 따라서 (x,y,z)(x,y,z)가 (1,2,3)(1,2,3)과 (5,2,7)(5,2,7)로부터 같은 거리에 있을 필요충분조건은 다음과 같다.

(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−5)2+(y−2)2+(z−7)2  ⟺  x2−2x+1+z2−6z+9=x2−10x+25+z2−14z+49  ⟺  8x+8z=64  ⟺  x+z=8\begin{aligned} & & (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2&=(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2\\ &\iff & x^2-2x+1+z^2-6z+9&=x^2-10x+25+z^2-14z+49\\ &\iff & 8x+8z&=64\\ &\iff & x+z&=8 \end{aligned}

이것은 (3,2,5)=12(1,2,3)+12(5,2,7)(3,2,5)=\tfrac{1}{2}(1,2,3)+\tfrac{1}{2}(5,2,7)을 지나고 법선 벡터가 <1,0,1>=14(<5,2,7>−<1,2,3>)\left< 1,0,1\right>=\frac{1}{4}\big(\left< 5,2,7\right>-\left< 1,2,3\right> \big)인 평면이다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance from the point (x,y,z)(x,y,z) to (1,2,3)(1,2,3) is (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} and the distance from (x,y,z)(x,y,z)to (5,2,7)(5,2,7) is (x−5)2+(y−2)2+(z−7)2\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2}. Hence (x,y,z)(x,y,z) is equidistant from (1,2,3)(1,2,3) and (5,2,7)(5,2,7) if and only if

(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=(x−5)2+(y−2)2+(z−7)2  ⟺  x2−2x+1+z2−6z+9=x2−10x+25+z2−14z+49  ⟺  8x+8z=64  ⟺  x+z=8\begin{aligned} & & (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2&=(x-5)^2+(y-2)^2+(z-7)^2\\ &\iff & x^2-2x+1+z^2-6z+9&=x^2-10x+25+z^2-14z+49\\ &\iff & 8x+8z&=64\\ &\iff & x+z&=8 \end{aligned}

This is the plane through (3,2,5)=12(1,2,3)+12(5,2,7)(3,2,5)=\tfrac{1}{2}(1,2,3)+\tfrac{1}{2}(5,2,7) with normal vector <1,0,1>=14(<5,2,7>−<1,2,3>)\left< 1,0,1\right>=\frac{1}{4}\big(\left< 5,2,7\right>-\left< 1,2,3\right> \big).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 10번우리말 번역

A=(2,3,4)A = (2, 3, 4) 라 하고, LL 을 방정식 x+y=1x + y = 1 과 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 으로 주어진 직선이라 하자.

(a) 점 AA 를 지나고 LL 에 수직인 평면의 방정식을 쓰세요. (b) 점 AA 와 직선 LL 을 포함하는 평면의 방정식을 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a), (b) 두 경우 모두 LL 의 방향 벡터가 필요하다. 그래서 먼저 하나를 구한다.

  • 벡터 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 은 x+y=1x + y = 1 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.
  • 벡터 <1,2,1>\left< 1,2,1\right> 은 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.

따라서 벡터

<1,1,0>×<1,2,1>=det⁡[ı^ȷ^k^110121]=<1 , −1 , 1>\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

은 LL 의 방향 벡터이다.

(a) 이 평면은 점 (2,3,4)(2,3,4) 를 지나고 <−1,1,−1>\left<-1,1,-1 \right> 을 법선 벡터로 가져야 한다. 그러므로

<−1,1,−1>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는x−y+z=3\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

(b) 이 평면은 점 A=(2,3,4)A=(2,3,4) 와 (1,0,2)(1,0,2) (LL 위의 점)를 지나야 하므로 벡터 <2−1,3−0,4−2>=<1,3,2> \left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right> 은 평면에 평행해야 한다. LL 의 방향 벡터 <−1,1,−1>\left< -1 , 1 , -1 \right> 도 평면에 평행해야 한다. 따라서 벡터

<1,3,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^132−11−1]=<−5 , −1 , 4>\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}

는 평면의 법선 벡터이어야 한다. 그러므로

<−5,−1,4>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는5x+y−4z=−3\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

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