빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에 어떤 잘못이 있는지 설명하세요.

“점 (3,1,3)(3,1,3) 을 지나고 벡터 <4,−6,2>\left< 4,-6,2 \right> 와 <13,−12,16>\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right> 에 수직인 직선의 방정식을 구하세요.”

영어 원문 보기

What is wrong with the following exercise?

“Give an equation for the line passing through the point (3,1,3)(3,1,3) that is normal to the vectors <4,−6,2>\left< 4,-6,2 \right> and <13,−12,16>\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>."

정답·풀이 보기

12<13,−12,16>=<4,−6,2>12\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>=\left< 4,-6,2 \right> 임에 주목한다. 따라서 우리가 구하려는 직선에 대해 실제로 알고 있는 법선 방향은 하나뿐이다. 즉 주어진 조건을 만족하는 직선은 사실 무수히 많다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

Note 12<13,−12,16>=<4,−6,2>12\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>=\left< 4,-6,2 \right>. So, we actually only know one normal direction to the line we're supposed to be describing. That means there are actually infinitely many lines satisfying the given conditions.

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 6번우리말 번역

점 (2,−1,−1)(2,-1,-1) 을 지나고 두 평면 x+y=0x+y=0 과 x−y+2z=0x-y+2z=0 에 각각 평행한 직선의 방정식을 구하세요. 이 직선의 방정식을 벡터 매개변수 형태, 스칼라 매개변수 형태, 대칭형으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 다음을 관찰하자.

  • <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 은 x+y=0x+y=0 에 수직이므로 직선에도 수직이다.
  • <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 은 x−y+2z=0x-y+2z=0 에 수직이므로 직선에도 수직이다.

따라서

<1 , 1 , 0>×<1 , −1 , 2>=det⁡[ı^ȷ^k^1101−12]=<2 , −2 , −2>\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}

은 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 과 <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 모두에 수직이다. 그러므로 12<2 , −2 , −2>=<1,−1,−1> \frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\> 도 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 과 <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 모두에 수직이고, 따라서 직선에 평행하다. 점 (2,−1,−1)(2,-1,-1) 이 직선 위에 있으므로 직선의 벡터 방정식은 다음과 같다.

<x−2,y+1,z+1>=t<1,−1,−1>\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>

직선의 스칼라 매개변수 방정식은 다음과 같다.

x−2=t, y+1=−t, z+1=−t또는x=2+t, y=−1−t, z=−1−t\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{또는} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}

직선의 대칭 방정식은 다음과 같다.

(t=)x−21=y+1−1=z+1−1또는x−2=−y−1=−z−1\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{또는} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

「직선과 평면의 방정식」 문제 목록으로