빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

가능하다면, 3차원 공간에서 다음 조건을 만족하는 직선 네 개를 구하세요.

  • 어떤 두 직선도 서로 평행하지 않고,
  • 어떤 두 직선도 서로 만나지 않는다.
영어 원문 보기

Find, if possible, four lines in 3d with

  • no two of the lines parallel to each other and
  • no two of the lines intersecting.
정답·풀이 보기

정답은 무수히 많다. 그중 하나는

L1: <x , y , z−1>=t<1,0,0>L2: <x , y , z−2>=t<0,1,0>L3: <x , y , z−3>=t<1,1,0>L4: <x , y , z−4>=t<1,−1,0>\begin{aligned} L_1:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-1\right> &= t\left< 1,0,0\right> & L_2:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-2\right> &= t\left< 0,1,0\right> \\ L_3:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-3\right> &= t\left< 1,1,0\right> & L_4:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-4\right> &= t\left< 1,-1,0\right> \end{aligned}

이다.

어떤 두 직선도 평행하지 않다. 그 이유는 다음과 같다.

  • L1L_1 과 L2L_2 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<0,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 0,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L1L_1 과 L3L_3 은 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<1,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L1L_1 과 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L2L_2 와 L3L_3 은 평행하지 않다. 왜냐하면 <0,1,0>×<1,1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L2L_2 와 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <0,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L3L_3 과 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−2>≠0\left< 1,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-2\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.

어떤 두 직선도 만나지 않는다. 그 이유는 다음과 같다.

  • L1L_1 위의 모든 점은 z=1z=1 이고
  • L2L_2 위의 모든 점은 z=2z=2 이고
  • L3L_3 위의 모든 점은 z=3z=3 이고
  • L4L_4 위의 모든 점은 z=4z=4 이다.
원본 교재 풀이(영어)

There are infinitely many correct answers. One is

L1: <x , y , z−1>=t<1,0,0>L2: <x , y , z−2>=t<0,1,0>L3: <x , y , z−3>=t<1,1,0>L4: <x , y , z−4>=t<1,−1,0>\begin{aligned} L_1:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-1\right> &= t\left< 1,0,0\right> & L_2:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-2\right> &= t\left< 0,1,0\right> \\ L_3:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-3\right> &= t\left< 1,1,0\right> & L_4:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-4\right> &= t\left< 1,-1,0\right> \end{aligned}

No two of the lines are parallel because

  • L1L_1 and L2L_2 are not parallel because <1,0,0>×<0,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 0,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}.
  • L1L_1 and L3L_3 are not parallel because <1,0,0>×<1,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0}.
  • L1L_1 and L4L_4 are not parallel because <1,0,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}.
  • L2L_2 and L3L_3 are not parallel because <0,1,0>×<1,1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}.
  • L2L_2 and L4L_4 are not parallel because <0,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0}.
  • L3L_3 and L4L_4 are not parallel because <1,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−2>≠0\left< 1,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-2\right>\ne\mathbf{0}.

No two of the lines intersect because

  • every point on L1L_1 has z=1z=1 and
  • every point on L2L_2 has z=2z=2 and
  • every point on L3L_3 has z=3z=3 and
  • every point on L4L_4 has z=4z=4.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 1번우리말 번역

다음 문제에 어떤 잘못이 있는지 설명하세요.

“점 (3,1,3)(3,1,3) 을 지나고 벡터 <4,−6,2>\left< 4,-6,2 \right> 와 <13,−12,16>\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right> 에 수직인 직선의 방정식을 구하세요.”

다 풀었으면 정답 확인

12<13,−12,16>=<4,−6,2>12\left< \frac13,-\frac12,\frac16 \right>=\left< 4,-6,2 \right> 임에 주목한다. 따라서 우리가 구하려는 직선에 대해 실제로 알고 있는 법선 방향은 하나뿐이다. 즉 주어진 조건을 만족하는 직선은 사실 무수히 많다.

그림

이 문제로 이어서 풀기
# 직선과 평면의 방정식계산기본자동 분류

「직선과 평면의 방정식」 문제 목록으로