직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.5절 · 10번

CLP-3 · 1.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 에 평행하고 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 에 수직이다.

(a) 직선 $L$ 에 평행한 벡터를 구하세요. (b) 직선 $L$ 이 점 $Q(a, b, c)$ 를 지난다고 할 때, 직선 $L$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 여기서 $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이고, $Q$ 에서 $xy$ –평면, $xz$ –평면, $yz$ –평면까지의 거리는 각각 $2$ , $3$ , $4$ 이다.

영어 원문 보기

Let $L$ be a line which is parallel to the plane $2x + y - z = 5$ and perpendicular to the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ .

(a) Find a vector parallel to the line $L$ . (b) Find parametric equations for the line $L$ if $L$ passes through a point $Q(a, b, c)$ where $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , and the distances from $Q$ to the $xy$ –plane, the $xz$ –plane and the $yz$ –plane are $2$ , $3$ and $4$ respectively.

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 의 법선 벡터인 $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ 과, 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 의 방향 벡터인 $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 이러한 벡터는 모두 다음 벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) 점 $Q(a, b, c)$ 에 대하여

$xy$ –평면까지의 거리가 $2$ 이려면 $|c|=2$ 이어야 하고,
$xz$ –평면까지의 거리가 $3$ 이려면 $|b|=3$ 이어야 하고,
$yz$ –평면까지의 거리가 $4$ 이려면 $|a|=4$ 이어야 한다.

$a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이므로 점 $Q$ 는 $(-4, 3, 2)$ 이고 직선 $L$ 은

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ must be perpendicular both to $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ , which is a normal vector for the plane $2x + y - z = 5$ , and to $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ , which is a direction vector for the line $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ and $z = 3t$ . Any such vector must be a nonzero constant times

(b) For the point $Q(a, b, c)$

to be a distance $2$ from the $xy$ –plane, it is necessary that $|c|=2$ , and
to be a distance $3$ from the $xz$ –plane, it is necessary that $|b|=3$ , and
to be a distance $4$ from the $yz$ –plane, it is necessary that $|a|=4$ .

As $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , the point $Q$ is $(-4, 3, 2)$ and the line $L$ is

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.5절 · 11번우리말 번역

점 $A(-3,1,1)$ 과 대칭방정식

$x=-y=-z$

으로 주어진 직선 사이의 거리를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

이 문제로 이어서 풀기

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