직선과 평면의 방정식 연습문제 — CLP-3 · 1.5절 · 11번

CLP-3 · 1.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

$L$ 을 평면 $x + y + z = 6$ 과 $x - y + 2z = 0$ 의 교선이라 하자.

(a) 직선 $L$ 이 좌표평면과 만나는 점을 구하세요. (b) 점 $(10, 11, 13)$ 을 지나고 직선 $L$ 에 수직이며 평면 $y = z$ 에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the line of intersection of the planes $x + y + z = 6$ and $x - y + 2z = 0$ .

(a) Find the points in which the line $L$ intersects the coordinate planes. (b) Find parametric equations for the line through the point $(10, 11, 13)$ that is perpendicular to the line $L$ and parallel to the plane $y = z$ .

정답·풀이 보기

(a) 직선 $L$ 이 $xy$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $z=0$ 을 만족한다. $z=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + y = 6$ , $x - y = 0$ 으로 간단해진다. 따라서 교점은 $(3,3,0)$ 이다.

직선 $L$ 이 $xz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $y=0$ 을 만족한다. $y=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ 으로 간단해진다. $x=-2z$ 를 $x+z=6$ 에 대입하면 $-z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(12,0,-6)$ 이다.

직선 $L$ 이 $yz$ 평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , 그리고 $x=0$ 을 만족한다. $x=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ 으로 간단해진다. $y=2z$ 를 $y+z=6$ 에 대입하면 $3z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(0,4,2)$ 이다.

(b) 핵심은 이 직선의 방향벡터 $\mathbf{d}$ 를 구하는 것이다.

직선이 $y=z$ 에 평행해야 하므로, $\mathbf{d}$ 는 $y=z$ 의 법선벡터 $\left< 0,1,-1\right>$ 에 수직이어야 한다.
또한 $\mathbf{d}$ 는 $L$ 에도 수직이어야 한다. 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x+y = 6-z$ 와 $x-y =-2z$ 를 만족해야 한다. 이 두 식을 더하면 $2x=6-3z$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y= 6+z$ 이다. 따라서 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ 를 만족해야 한다. $L$ 위의 점 중 $z=0$ 인 점은 $(3,3,0)$ 이고 $z=2$ 인 점은 $(0,4,2)$ 이다. 따라서 $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ 는 $L$ 의 방향벡터이다.

그러므로 $\mathbf{d}$ 는 $\left< 0,1,-1\right>$ 과 $\left< -3,1,2 \right>$ 모두에 수직이어야 하고, 따라서 다음 벡터의 0이 아닌 상수배이다.

$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$

$\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ 로 택한다. 따라서

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

는 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이다. 이를 $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ 로 쓸 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line $L$ intersects the $xy$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $z=0$ . When $z=0$ the equations of $L$ reduce to $x + y = 6$ , $x - y = 0$ . So the intersection point is $(3,3,0)$ .

The line $L$ intersects the $xz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $y=0$ . When $y=0$ the equations of $L$ reduce to $x + z = 6$ , $x +2z = 0$ . Substituting $x=-2z$ into $x+z=6$ gives $-z=6$ . So the intersection point is $(12,0,-6)$ .

The line $L$ intersects the $yz$ –plane when $x + y + z = 6$ , $x - y + 2z = 0$ , and $x=0$ . When $x=0$ the equations of $L$ reduce to $y + z = 6$ , $-y +2z = 0$ . Substituting $y=2z$ into $y+z=6$ gives $3z=6$ . So the intersection point is $(0,4,2)$ .

(b) Our main job is to find a direction vector $\mathbf{d}$ for the line.

Since the line is to be parallel to $y=z$ , $\mathbf{d}$ must be perpendicular to the normal vector for $y=z$ , which is $\left< 0,1,-1\right>$ .
$\mathbf{d}$ must also be perpendicular to $L$ . For a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x+y = 6-z$ and $x-y =-2z$ . Adding these two equations gives $2x=6-3z$ and subtracting the second equation from the first gives $2y= 6+z$ . So for a point $(x,y,z)$ to be on $L$ it must obey $x=3-\frac{3z}{2}$ , $y=3+\frac{z}{2}$ . The point on $L$ with $z=0$ is $(3,3,0)$ and the point on $L$ with $z=2$ is $(0,4,2)$ . So $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ is a direction vector for $L$ .

So $\mathbf{d}$ must be perpendicular to both $\left< 0,1,-1\right>$ and $\left< -3,1,2 \right>$ and so must be a nonzero constant times

We choose $\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ . So

$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$

is a vector parametric equation for the line. We can also write this as $x=10+t$ , $y=11+t$ , $z=13+t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 10번우리말 번역

직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 에 평행하고 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 에 수직이다.

(a) 직선 $L$ 에 평행한 벡터를 구하세요. (b) 직선 $L$ 이 점 $Q(a, b, c)$ 를 지난다고 할 때, 직선 $L$ 의 매개변수 방정식을 구하세요. 여기서 $a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이고, $Q$ 에서 $xy$ –평면, $xz$ –평면, $yz$ –평면까지의 거리는 각각 $2$ , $3$ , $4$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 직선 $L$ 은 평면 $2x + y - z = 5$ 의 법선 벡터인 $\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>$ 과, 직선 $x = 3 - t$ , $y = 1 - 2t$ , $z = 3t$ 의 방향 벡터인 $\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>$ 모두에 수직이어야 한다. 이러한 벡터는 모두 다음 벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것이다.

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}$

(b) 점 $Q(a, b, c)$ 에 대하여

$xy$ –평면까지의 거리가 $2$ 이려면 $|c|=2$ 이어야 하고,
$xz$ –평면까지의 거리가 $3$ 이려면 $|b|=3$ 이어야 하고,
$yz$ –평면까지의 거리가 $4$ 이려면 $|a|=4$ 이어야 한다.

$a < 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ 이므로 점 $Q$ 는 $(-4, 3, 2)$ 이고 직선 $L$ 은

$x = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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