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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 두 평면

x+y+z=11그리고x−y−z=13.x + y + z = 11\qquad \text{그리고}\qquad x - y - z = 13.

의 교선에 대한 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the parametric equation for the line of intersection of the planes

x+y+z=11andx−y−z=13.x + y + z = 11\qquad \text{and}\qquad x - y - z = 13.

정답·풀이 보기

zz 를 매개변수로 쓰고 tt 라 하자. 그러면 z=tz=t 이고

x+y=11−tx−y=13+t\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}

이다. 두 방정식을 더하면 2x=242x=24 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 2y=−2−2t2y=-2-2t 이다. 따라서

(x,y,z)=(12 , −1−t , t)(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's use zz as the parameter and call it tt. Then z=tz=t and

x+y=11−tx−y=13+t\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}

Adding the two equations gives 2x=242x=24 and subtracting the second equation from the first gives 2y=−2−2t2y=-2-2t. So

(x,y,z)=(12 , −1−t , t)(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.4절 · 7번우리말 번역

주어진 세 점을 지나는 평면을 구하세요.

(a) (1,0,1), (2,4,6), (1,2,−1)(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1) (b) (1,−2,−3), (4,−4,4), (3,2,−3)(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3) (c) (1,−2,−3), (5,2,1), (−1,−4,−5)(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 이 평면은 <2,4,6>−<1,0,1>=<1,4,5>\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right> 및 <1,2,−1>−<1,0,1>=<0,2,−2>\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <1,4,5>\left< 1,4,5\right> 과 <0,2,−2>\left< 0,2,-2\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<1,4,5>×<0,2,−2>=det⁡[ı^ȷ^k^14502−2]=<−18,2,2>\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>

평면의 방정식은 9(x−1)−y−(z−1)=09(x-1)-y-(z-1)=0 즉 9x−y−z=89x-y-z=8 이다.

(1,0,1), (2,4,6)(1,0,1),\ (2,4,6), (1,2,−1)(1,2,-1) 이 모두 9x−y−z=89x-y-z=8 을 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(b) 이 평면은 <4,−4,4>−<1,−2,−3>=<3,−2,7>\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right> 및 <3,2,−3>−<1,−2,−3>=<2,4,0>\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <3,−2,7>\left< 3,-2,7\right> 과 <2,4,0>\left< 2,4,0\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<3,−2,7>×<2,4,0>=det⁡[ı^ȷ^k^3−27240]=<−28,14,16>\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>

평면의 방정식은 14(x−1)−7(y+2)−8(z+3)=014(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0 즉 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 이다.

(1,−2,−3), (4,−4,4)(1,-2,-3),\ (4,-4,4), (3,2,−3)(3,2,-3) 이 모두 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(c) 이 평면은 <5,2,1>−<1,−2,−3>=<4,4,4>\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right> 및 <−1,−4,−5>−<1,−2,−3>=<−2,−2,−2>\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right> 과 평행해야 한다. 이런, 이 두 벡터는 평행하다. 따라서 세 점은 모두 한 직선 위에 있다. 이 직선을 포함하는 평면은 어느 것이든 세 점을 모두 지난다. <a,b,c>\left< a,b,c\right> 가 <1,1,1>\left< 1,1,1\right> 에 수직인 임의의 벡터(즉 a+b+c=0a+b+c=0 을 만족하는 벡터)이면, 평면 a(x−1)+b(y+2)+c(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 즉 a(x−1)+b(y+2)−(a+b)(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0 즉 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 은 주어진 세 점을 지난다.

(1,−2,−3), (5,2,1)(1,-2,-3),\ (5,2,1), (−1,−4,−5)(-1,-4,-5) 가 모든 aa, bb 에 대해 방정식 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

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