벡터함수의 미분과 적분

(a) $$x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{그리고}\qquad z(t)^2=t^2$$

은 서로 같으므로, 입자의 경로는 원뿔 $z^2=x^2+y^2$ 위에 있다.

(b) 정의에 의해,

$$\begin{aligned} \text{속도}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{속력}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}$$

(c) $t=1$ 일 때 입자는 $\mathbf{r}(1)=(0,1,1)$ 에 있고 속도는 $\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$ 이다. 따라서 $t\ge 1$ 일 때 입자의 위치는

$$\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>$$

이다. 이것은 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이기도 하다.

(d) 입자가 $L$ 을 따라 날아가는 동안 속력이 일정하게 유지된다고 가정하자. 그러면 시각 $t$ ($t\ge 1$)에서 입자의 $x$ 좌표는 $-\frac{\pi}{2}(t-1)$ 이다. 이 값은 $t-1=\frac{2}{\pi}$ 일 때 $-1$ 이 된다. 따라서 입자는 원뿔을 벗어난 지 $\frac{2}{\pi}$ 초 후에 $x=-1$ 에 부딪힌다.