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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

입자의 질량이 상수 mm 이고 위치가 r\mathbf{r} 이며 속도 v\mathbf{v} 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) 이다.

질량이 m=1m=1 이고 위치 함수가 r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t) 인 입자에 대해 ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right| 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass mm, position r\mathbf{r}, and is moving with velocity v\mathbf{v}, then its angular momentum is L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

For a particle with mass m=1m=1 and position function r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t), find ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) 주어진 공식을 적용하면, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) Applying the given formula, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • Solution 2: Using the product rule:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 27번우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항 때문에 느려지는 발사체의 위치가 다음을 만족한다. d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{d\mathbf{r}}{dt} 여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (힌트: u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하고, 주어진 미분방정식에 drdt(t)=e−αtu(t)\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)=e^{-\alpha t}\mathbf{u}(t) 를 대입하여 u\mathbf{u} 에 대한 미분방정식을 구하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{d\mathbf{u}}{dt}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}

이 식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^  ⟹  u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\begin{aligned} &\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{d\mathbf{r}}{dt}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면 drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} 이 식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^  ⟹  r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} &\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \\ &\implies \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

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