벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-3 · 1.6절 · 21번

CLP-3 · 1.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

벡터방정식이 다음과 같은 공간곡선 $\Gamma$ 를 생각하세요.

$\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty$

이 곡선은 원점에서 출발하여 결국 방정식이 $2x^2+2y^2+z^2=24$ 인 타원면 $E$ 에 도달한다.

(a) $\Gamma$ 가 $E$ 와 만나는 점 $P$ 의 좌표를 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터를 구하세요. (c) $\Gamma$ 는 $E$ 와 직각으로 만나나요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the space curve $\Gamma$ whose vector equation is

$\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty$

This curve starts from the origin and eventually reaches the ellipsoid $E$ whose equation is $2x^2+2y^2+z^2=24$ .

(a) Determine the coordinates of the point $P$ where $\Gamma$ intersects $E$ . (b) Find the tangent vector of $\Gamma$ at the point $P$ . (c) Does $\Gamma$ intersect $E$ at right angles? Why or why not?

정답·풀이 보기

(a) 곡선이 $E$ 와 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

$2\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0$

$t>0$ 이어야 하므로 구하는 시각은 $t=2$ 이고, 이에 대응하는 점은 $\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

(b)

$\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}$

이므로, 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터는 다음의 0이 아닌 임의의 배수이다.

$\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

${ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>$

$\mathbf{r}'(2)$ 와 $\left< 0,8,8\right>$ 는 평행하지 않으므로 $\Gamma$ 와 $E$ 는 직각으로 만나지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve intersects $E$ when

$2\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0$

Since we need $t>0$ , the desired time is $t=2$ and the corresponding point is $\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$ .

(b) Since

$\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}$

a tangent vector to $\Gamma$ at $P$ is any nonzero multiple of

$\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

${ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>$

Since $\mathbf{r}'(2)$ and $\left< 0,8,8\right>$ are not parallel, $\Gamma$ and $E$ do not intersect at right angles.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 20번우리말 번역

입자의 질량이 상수 $m$ 이고 위치가 $\mathbf{r}$ 이며 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 $\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v})$ 이다.

질량이 $m=1$ 이고 위치 함수가 $\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t)$ 인 입자에 대해 $\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$ 주어진 공식을 적용하면, $\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$

풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$

풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인보통자동 분류