벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-3 · 1.6절 · 22번

CLP-3 · 1.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

3차원 공간에서 한 입자가 위치 벡터 $\mathbf{r}(t)$ 로 움직이고, $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ 를 만족한다고 하자. "에너지" $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ 이 상수임(즉, $t$ 에 무관함)을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose a particle in 3-dimensional space travels with position vector $\mathbf{r}(t)$ , which satisfies $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ . Show that the “energy” $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ is constant (that is, independent of $t$ ).

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}$

모든 $t$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0$ 이므로, $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ 은 $t$ 에 무관하다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0$ for all $t$ , $|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2$ is independent of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 21번우리말 번역

벡터방정식이 다음과 같은 공간곡선 $\Gamma$ 를 생각하세요.

$\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty$

이 곡선은 원점에서 출발하여 결국 방정식이 $2x^2+2y^2+z^2=24$ 인 타원면 $E$ 에 도달한다.

(a) $\Gamma$ 가 $E$ 와 만나는 점 $P$ 의 좌표를 구하세요. (b) 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터를 구하세요. (c) $\Gamma$ 는 $E$ 와 직각으로 만나나요? 그 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 곡선이 $E$ 와 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

$2\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0$

$t>0$ 이어야 하므로 구하는 시각은 $t=2$ 이고, 이에 대응하는 점은 $\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

(b)

$\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}$

이므로, 점 $P$ 에서 $\Gamma$ 의 접벡터는 다음의 0이 아닌 임의의 배수이다.

$\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

${ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>$

$\mathbf{r}'(2)$ 와 $\left< 0,8,8\right>$ 는 평행하지 않으므로 $\Gamma$ 와 $E$ 는 직각으로 만나지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류