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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 m=1m = 1 인 입자가 시각 00 에서 위치 r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 와 속도 v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 를 가진다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) 시각 tt 에 따른 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=0x = 0 을 처음으로 지나가는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 x=0x = 0 을 지나갈 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass m=1m = 1 has position r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} and velocity v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} at time 00. It moves under a force

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) Determine the position r(t)\mathbf{r}(t) of the particle depending on tt. (b) At what time after time t=0t = 0 does the particle cross the plane x=0x = 0 for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane x=0x = 0 in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 따라

mr′′(t)=F(t)이므로r′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

한 번 적분하면

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 따라서 c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} 이므로

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

두 번째로 적분하면

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 이다. 따라서 c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} 이므로

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) 입자가 평면 x=0x=0 위에 있는 때는 다음과 같다.

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

따라서 구하는 시각은 t=πt=\pi 이다.

(c) 시각 t=πt=\pi 에서의 속도는 다음과 같다.

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

mr′′(t)=F(t)so thatr′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

Integrating once gives

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

for some constant vector c\mathbf{c}. We are told that r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}. This forces c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} so that

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating a second time gives

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

for some (other) constant vector c\mathbf{c}. We are told that r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}. This forces c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} so that

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) The particle is in the plane x=0x=0 when

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

So the desired time is t=πt=\pi.

(c) At time t=πt=\pi, the velocity is

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 10번우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

옳은 답을 고르세요:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

다 풀었으면 정답 확인

다음과 같다.

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

따라서

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2 이므로 답은 (d)이다.

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