벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-3 · 1.6절 · 25번

CLP-3 · 1.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 곡면 $y=x^2$ 과 $z=\frac{2}{3}x^3$ 의 교선이라 하자. 한 입자가 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ 이도록 일정한 속력으로 $C$ 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 $t=0$ 에 $(0,0,0)$ 에 있고, 시각 $t=\frac{7}{2}$ 에 $(3,9,18)$ 에 있다.

(a) $C$ 에서 $(0,0,0)$ 과 $(3,9,18)$ 사이의 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때의 속도를 구하세요. (d) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the curve of intersection of the surfaces $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ . A particle moves along $C$ with constant speed such that $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ . The particle is at $(0,0,0)$ at time $t=0$ and is at $(3,9,18)$ at time $t=\frac{7}{2}$ .

(a) Find the length of the part of $C$ between $(0,0,0)$ and $(3,9,18)$ . (b) Find the constant speed of the particle. (c) Find the velocity of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ . (d) Find the acceleration of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ .

정답·풀이 보기

(a) $C$ 를 $x$ 로 매개화한다. $y=x^2$ 이고 $z=\frac{2}{3}x^3$ 이므로,

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2\\ \end{aligned}$

이고 $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) 입자는 $\frac{7}{2}$ 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 움직였다. 따라서 속력은 $\frac{21}{7/2}=6$ 이다.

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ (a), (b)의 결과와 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)에 의해 $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ 특히 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때는 $x=1$ 이다. 이때 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ 이고 $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 적용하면 $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히 $x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ 일 때, $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 에서 $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ 이고 $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Parametrize $C$ by $x$ . Since $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ ,

and $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) The particle travelled a distance of 21 units in $\frac{7}{2}$ time units. This corresponds to a speed of $\frac{21}{7/2}=6$ .

(c) Denote by $\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ . Then $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ By parts (a) and (b) and the chain rule $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ In particular, the particle is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ at $x=1$ . At this time $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ and $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) By the product and chain rules, $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ Applying $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ to $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ gives $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ In particular, when $x=1$ and $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ , $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ gives $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ and $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 24번우리말 번역

질량이 $m = 1$ 인 입자가 시각 $0$ 에서 위치 $\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 와 속도 $\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 를 가진다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

$\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.$

(a) 시각 $t$ 에 따른 입자의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 를 구하세요. (b) 시각 $t = 0$ 이후 입자가 평면 $x = 0$ 을 처음으로 지나가는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 $x = 0$ 을 지나갈 때의 속도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 따라

$m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}$

한 번 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

두 번째로 적분하면

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}$

이다. 여기서 $\mathbf{c}$ 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건에서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 따라서 $\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 이므로

(b) 입자가 평면 $x=0$ 위에 있는 때는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}$

따라서 구하는 시각은 $t=\pi$ 이다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류