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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라는 시각 tt 초일 때 기둥에서 동쪽으로 x(t)x(t) 미터, 북쪽으로 y(t)y(t) 미터 떨어진 곳에 있는 물체를 추적하고 있다.

카메라가 항상 물체를 정면으로 향하게 하려면, 시각 tt 에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 설정해야 하는지 구하세요. (답은 x(t)x(t), y(t)y(t) 와 이들의 도함수를 이용하여 단위 rad/sec 로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time tt seconds is x(t)x(t) metres east of the pole, and y(t)y(t) metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time tt? (Give your answer in terms of x(t)x(t) and y(t)y(t) and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 카메라를 원점에 둔 xyxy–평면으로 이미 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 (x(t),y(t))(x(t),y(t)) 이다. θ\theta 를 카메라가 양의 xx축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 xx축)은 직각삼각형을 이룬다.

그림

tan⁡θ=yxt에 대해 음함수 미분하면:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an xyxy–plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is (x(t),y(t))(x(t),y(t)). Let θ\theta be the angle the camera makes with the positive xx-axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive xx-axis) make a right triangle.

figure

tan⁡θ=yxDifferentiating implicitly with respect to t:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 25번우리말 번역

CC 를 곡면 y=x2y=x^2 과 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 의 교선이라 하자. 한 입자가 dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0 이도록 일정한 속력으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 t=0t=0 에 (0,0,0)(0,0,0) 에 있고, 시각 t=72t=\frac{7}{2} 에 (3,9,18)(3,9,18) 에 있다.

(a) CC 에서 (0,0,0)(0,0,0) 과 (3,9,18)(3,9,18) 사이의 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때의 속도를 구하세요. (d) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때의 가속도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) CC 를 xx 로 매개화한다. y=x2y=x^2 이고 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 이므로,

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2\\ \end{aligned}

이고 ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) 입자는 72\frac{7}{2} 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 움직였다. 따라서 속력은 217/2=6\frac{21}{7/2}=6 이다.

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} (a), (b)의 결과와 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)에 의해 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} 특히 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때는 x=1x=1 이다. 이때 dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 이고 R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 의 양변에 ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 를 적용하면 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 특히 x=1x=1 이고 dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2 일 때, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 에서 d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} 이고 R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

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