라그랑주 승수법 연습문제 — CLP-3 · 2.10절 · 1번

CLP-3 · 2.10절 · 1번대학 수준우리말 번역

(a) 함수 $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 곡선 $xy = 1$ 위에서 최댓값 또는 최솟값을 갖나요? 설명하세요. (b) 곡선 $xy = 1$ 위에서 $f(x, y)$ 의 최댓값과 최솟값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Does the function $f(x, y) = x^2 +y^2$ have a maximum or a minimum on the curve $xy = 1$ ? Explain. (b) Find all maxima and minima of $f(x, y)$ on the curve $xy = 1$ .

정답·풀이 보기

(a) $f(x, y) = x^2 +y^2$ 은 점 $(x,y)$ 에서 원점까지의 거리의 제곱이다. 곡선 $xy=1$ 위에는 $x$ 또는 $y$ 가 얼마든지 커지는 점이 있으므로 원점으로부터의 거리도 얼마든지 커진다. 따라서 $f$ 는 이 곡선 위에서 최댓값을 갖지 않는다. 반면 $f$ 는 최솟값을 갖는데, 이는 $xy=1$ 위의 점 중 원점에 가장 가까운 점에서 얻어진다.

(b) 곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이므로 $f=x^2+\frac{1}{x^2}$ 이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) =2x-\frac{2}{x^3} =\frac{2}{x^3}(x^4-1) \end{aligned}$

이고 곡선 위의 어떤 점도 $x=0$ 이 아니므로, 최솟값은 $x=\pm 1$ 일 때 얻어진다. 따라서 최솟값은 $\pm (1,1)$ 에서 나타나며, 이때 $f$ 의 값은 $2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $f(x, y) = x^2 +y^2$ is the square of the distance from the point $(x,y)$ to the origin. There are points on the curve $xy=1$ that have either $x$ or $y$ arbitrarily large and so whose distance from the origin is arbitrarily large. So $f$ has no maximum on the curve. On the other hand $f$ will have a minimum, achieved at the points of $xy=1$ that are closest to the origin.

(b) On the curve $xy=1$ we have $y=\frac{1}{x}$ and hence $f=x^2+\frac{1}{x^2}$ . As

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) =2x-\frac{2}{x^3} =\frac{2}{x^3}(x^4-1) \end{aligned}$

and as no point of the curve has $x=0$ , the minimum is achieved when $x=\pm 1$ . So the minima are at $\pm (1,1)$ , where $f$ takes the value $2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.8절 · 34번우리말 번역

$f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y$ 의 최댓값을 구하세요. 여기서 $x\,\text{와}\,y$ 는 직각삼각형의 두 예각을 나타냅니다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 함수의 등고선을 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{2}$

진폭이 1인 언덕과 구덩이가 번갈아 나타나는 모양이 삼차원 공간 전체에 걸쳐 펼쳐져 있다.

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