극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 1번

CLP-3 · 2.9절 · 1번대학 수준우리말 번역

(a) 함수 $f(x,y)$ 의 등위곡선 몇 개가 아래 $xy$ –평면에 그려져 있다.

아래 네 가지 진술 각각에 대해, 그 상황이 적용되는 점을 그림에서 모두 찾아 그 글자에 동그라미를 치세요. 예를 들어 진술이 "이 점들은 $y$ –축 위에 있다"라면 $P$ 와 $U$ 에 동그라미를 치고 나머지 글자에는 치지 않는다. 점 $T$ 에서 극댓값이 생긴다고 가정해도 됩니다.

$\begin{aligned} \text{(i) }& { \boldsymbol{\nabla} } f\text{ 가 영벡터이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(ii) }& \text{ $f$ 가 안장점을 갖는다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iii) }& \text{ 편도함수 $f_y$ 가 양수이다} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iv) }& \text{ $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수가} & &\text{P Q R S T U} \\[-0.07in] & \text{ 음수이다} & & \end{aligned}$ (b) 아래 그림은 $xz$ –축 위에 그린 그래프 $z=F(x,y)$ 의 세 개의 " $y$ 단면"을 보여 준다. (곧, 곡면 $z=F(x,y)$ 와 세 평면 ( $y=1.9$ , $y=2$ , $y=2.1$ )의 교선이다.) 각 진술에 대해 알맞은 말에 동그라미를 치세요.

$\begin{aligned} \text{(i) }& \text{ 1계 편도함수 $F_x(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \\ \text{(ii) }& \text{ $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖는다 } & &\text{참/거짓 (하나에 동그라미)} \\ \text{(iii) }& \text{ 2계 편도함수 $F_{xy}(1,2)$ 는} & &\text{양수/음수/0 (하나에 동그라미)} \end{aligned}$

영어 원문 보기

(a) Some level curves of a function $f(x,y)$ are plotted in the $xy$ –plane below.

For each of the four statements below, circle the letters of all points in the diagram where the situation applies. For example, if the statement were “These points are on the $y$ –axis”, you would circle both $P$ and $U$ , but none of the other letters. You may assume that a local maximum occurs at point $T$ .

$\begin{aligned} \text{(i) }& { \boldsymbol{\nabla} } f\text{ is zero} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(ii) }& \text{ $f$ has a saddle point} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iii) }& \text{ the partial derivative $f_y$ is positive} & &\text{P Q R S T U} \\ \text{(iv) }& \text{ the directional derivative of $f$ in the direction $\left< 0,-1\right>$ is} & &\text{P Q R S T U} \\[-0.07in] & \text{ negative} & & \end{aligned}$ (b) The diagram below shows three “ $y$ traces” of a graph $z=F(x,y)$ plotted on $xz$ –axes. (Namely the intersections of the surface $z=F(x,y)$ with the three planes ( $y=1.9$ , $y=2$ , $y=2.1$ ). For each statement below, circle the correct word.

$\begin{aligned} \text{(i) }& \text{ the first order partial derivative $F_x(1,2)$ is} & &\text{positive/negative/zero (circle one)} \\ \text{(ii) }& \text{ $F$ has a critical point at $(2,2)$ } & &\text{true/false (circle one)} \\ \text{(iii) }& \text{ the second order partial derivative $F_{xy}(1,2)$ is} & &\text{positive/negative/zero (circle one)} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

a) (ⅰ) 임계점에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } f$ 는 영벡터이다. 점 $T$ 는 극댓값을 갖는 점이고 점 $U$ 는 안장점이다. 나머지 점 $P$ , $R$ , $S$ 는 임계점이 아니다.

(a) (ⅱ) 안장점은 $U$ 뿐이다.

(a) (ⅲ) $(x,y)$ 에서 수직 위쪽으로 움직일 때 $f$ 가 증가하면 $f_y(x,y)>0$ 이다. 그림을 보면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_y(P) <0\qquad f_y(Q) <0\qquad f_y(R) =0\qquad f_y(S) >0\qquad f_y(T) =0\qquad f_y(U) =0 \end{aligned}$

따라서 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(a) (ⅳ) $f$ 의 방향 $\left< 0,-1\right>$ 으로의 방향도함수는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot \left< 0,-1\right> =-f_y$ 이다. 이 값이 음수일 필요충분조건은 $f_y>0$ 이다. 따라서 이번에도 조건에 맞는 점은 $S$ 뿐이다.

(b) (ⅰ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=1$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=1$ 에서 증가한다. 따라서 $F_x(1,2)>0$ 이다.

(b) (ⅱ) 그림에서 $y=2.0$ 의 그래프는 $x=2$ 에서 기울기가 양수이므로, 함수 $z=F(x,2)$ 는 $x=2$ 에서도 (천천히이지만) 증가한다. 따라서 $F_x(2,2)>0$ 이다. 그러므로 $F$ 는 $(2,2)$ 에서 임계점을 갖지 않는다.

(b) (ⅲ) 그림으로 보아 $F_x(1,1.9) > F_x(1,2.0) > F_x(1,2.1)$ 인 것으로 보인다. 곧, $x=1$ 에서 $y=1.9$ 그래프의 기울기가 $x=1$ 에서 $y=2.0$ 그래프의 기울기보다 크고, 이 기울기는 다시 $x=1$ 에서 $y=2.1$ 그래프의 기울기보다 큰 것으로 보인다. 따라서 $y$ 가 $y=2$ 를 지나며 증가할 때 $F_x(1,y)$ 는 감소하는 것으로 보이고, 그러므로 $F_{xy}(1,2)<0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a) (i) ${ \boldsymbol{\nabla} } f$ is zero at critical points. The point $T$ is a local maximum and the point $U$ is a saddle point. The remaining points $P$ , $R$ , $S$ , are not critical points.

(a) (ii) Only $U$ is a saddle point.

(a) (iii) We have $f_y(x,y)>0$ if $f$ increases as you move vertically upward through $(x,y)$ . Looking at the diagram, we see

$\begin{aligned} f_y(P) <0\qquad f_y(Q) <0\qquad f_y(R) =0\qquad f_y(S) >0\qquad f_y(T) =0\qquad f_y(U) =0 \end{aligned}$

So only $S$ works.

(a) (iv) The directional derivative of $f$ in the direction $\left< 0,-1\right>$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot \left< 0,-1\right> =-f_y$ . It is negative if and only if $f_y>0$ . So, again, only $S$ works.

(b) (i) The function $z=F(x,2)$ is increasing at $x=1$ , because the $y=2.0$ graph in the diagram has positive slope at $x=1$ . So $F_x(1,2)>0$ .

(b) (ii) The function $z=F(x,2)$ is also increasing (though slowly) at $x=2$ , because the $y=2.0$ graph in the diagram has positive slope at $x=2$ . So $F_x(2,2)>0$ . So $F$ does not have a critical point at $(2,2)$ .

(b) (iii) From the diagram the looks like $F_x(1,1.9) > F_x(1,2.0) > F_x(1,2.1)$ . That is, it looks like the slope of the $y=1.9$ graph at $x=1$ is larger than the slope of the $y=2.0$ graph at $x=1$ , which in turn is larger than the slope of the $y=2.1$ graph at $x=1$ . So it looks like $F_x(1,y)$ decreases as $y$ increases through $y=2$ , and consequently $F_{xy}(1,2)<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 3번우리말 번역

한 변수 매끄러운 함수 $\ f(t)\$ ( $t$ 는 모든 실수 값을 가진다)에 대하여 $t_0$ 이 극솟값 또는 극댓값을 주는 점이면 $\ f'(t_0)=0$ 이다. 직선 $\ \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}\$ 위의 점들로 제한한 매끄러운 함수 $\ g(\mathbf{x})\$ 가 $\mathbf{x}_0$ 에서 극솟값 또는 극댓값을 갖기 위한 이와 유사한 필요조건을 유도하세요. 이 조건에는 $g(\mathbf{x})$ 의 그래디언트가 들어가야 합니다.

다 풀었으면 정답 확인

$f(t)=g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})$ 로 정의하고, $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ 가 되도록 $t_0$ 을 정한다. 그러면 $f'(t)={ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})\cdot\mathbf{d}$ 이다. 이를 확인하기 위해 $\mathbf{a}=\left< a_1,a_2,a_3\right>$ , $\mathbf{d}=\left< d_1,d_2,d_3\right>$ 로 쓰자. 그러면

$f(t)=g(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)$

이므로 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} f'(t) &= \frac{\partial g}{\partial x}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_1 +\frac{\partial g}{\partial y}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_2 \\& +\frac{\partial g}{\partial z}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_3 \\ &={ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})\cdot\mathbf{d} \end{aligned}$

이다. 그러면 $\mathbf{x}_0$ 이 주어진 직선으로 제한한 $g$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점일 필요충분조건은 $t_0$ 이 $f(t)$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인 것이다. 그렇다면 $f'(t_0)$ 은 반드시 $0$ 이 된다. 따라서 $\mathbf{x}_0$ 이 주어진 직선으로 제한한 $g$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점이면 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{d}=0$ , 즉 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\perp\mathbf{d}$ 이고, 어떤 $t_0$ 에 대해 $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ 이다. 두 번째 조건은 $x_0$ 이 직선 위에 있음을 보장하기 위한 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점그래프·표 해석기본자동 분류