극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 3번

CLP-3 · 2.9절 · 3번대학 수준우리말 번역

한 변수 매끄러운 함수 $\ f(t)\$ ( $t$ 는 모든 실수 값을 가진다)에 대하여 $t_0$ 이 극솟값 또는 극댓값을 주는 점이면 $\ f'(t_0)=0$ 이다. 직선 $\ \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}\$ 위의 점들로 제한한 매끄러운 함수 $\ g(\mathbf{x})\$ 가 $\mathbf{x}_0$ 에서 극솟값 또는 극댓값을 갖기 위한 이와 유사한 필요조건을 유도하세요. 이 조건에는 $g(\mathbf{x})$ 의 그래디언트가 들어가야 합니다.

영어 원문 보기

If $t_0$ is a local minimum or maximum of the smooth function $\ f(t)\$ of one variable ( $t$ runs over all real numbers) then $\ f'(t_0)=0.$ Derive an analogous necessary condition for $\mathbf{x}_0$ to be a local minimum or maximium of the smooth function $\ g(\mathbf{x})\$ restricted to points on the line $\ \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}\ .$ The test should involve the gradient of $g(\mathbf{x})$ .

정답·풀이 보기

$f(t)=g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})$ 로 정의하고, $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ 가 되도록 $t_0$ 을 정한다. 그러면 $f'(t)={ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})\cdot\mathbf{d}$ 이다. 이를 확인하기 위해 $\mathbf{a}=\left< a_1,a_2,a_3\right>$ , $\mathbf{d}=\left< d_1,d_2,d_3\right>$ 로 쓰자. 그러면

$f(t)=g(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)$

이므로 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} f'(t) &= \frac{\partial g}{\partial x}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_1 +\frac{\partial g}{\partial y}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_2 \\& +\frac{\partial g}{\partial z}(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)\,d_3 \\ &={ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})\cdot\mathbf{d} \end{aligned}$

이다. 그러면 $\mathbf{x}_0$ 이 주어진 직선으로 제한한 $g$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점일 필요충분조건은 $t_0$ 이 $f(t)$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인 것이다. 그렇다면 $f'(t_0)$ 은 반드시 $0$ 이 된다. 따라서 $\mathbf{x}_0$ 이 주어진 직선으로 제한한 $g$ 의 극댓값 또는 극솟값을 주는 점이면 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{d}=0$ , 즉 ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\perp\mathbf{d}$ 이고, 어떤 $t_0$ 에 대해 $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ 이다. 두 번째 조건은 $x_0$ 이 직선 위에 있음을 보장하기 위한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Define $f(t)=g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})$ and determine $t_0$ by $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ . Then $f'(t)={ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{a}+t\mathbf{d})\cdot\mathbf{d}$ . To see this, write $\mathbf{a}=\left< a_1,a_2,a_3\right>$ and $\mathbf{d}=\left< d_1,d_2,d_3\right>$ . Then

$f(t)=g(a_1+td_1,a_2+td_2,a_3+td_3)$

So, by the chain rule,

Then $\mathbf{x}_0$ is a local max or min of the restriction of $g$ to the specified line if and only if $t_0$ is a local max or min of $f(t)$ . If so, $f'(t_0)$ necessarily vanishes. So if $\mathbf{x}_0$ is a local max or min of the restriction of $g$ to the specified line, then ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{d}=0$ , i.e. ${ \boldsymbol{\nabla} } g(\mathbf{x}_0)\perp\mathbf{d}$ , and $\mathbf{x}_0=\mathbf{a}+t_0\mathbf{d}$ for some $t_0$ . The second condition is to ensure that $x_0$ lies on the line.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 2번우리말 번역

$(x,y)$ 가 정사각형 영역 $|x|\le 1$ , $|y|\le 1$ 에서 변할 때, 곡면 $\ z=\sqrt{x^2+y^2}\$ 의 가장 높은 점과 가장 낮은 점을 구하세요. 그 점들에서 $\ z_x,\ z_y\$ 의 값에 대해 논하세요. 답하는 과정에서 도함수를 구하지 마세요.

다 풀었으면 정답 확인

$(x,y)$ 에서의 높이 $\sqrt{x^2+y^2}$ 은 $(x,y)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 거리이다. 따라서 최소 높이는 $(0,0,0)$ 에서 0이다. 이 곡면은 원뿔이다. 원뿔은 $(0,0,0)$ 에서 뾰족하며, 그 점에서 미분계수 $z_x$ 와 $z_y$ 는 존재하지 않는다. 최대 높이는 $(x,y)$ 가 $(0,0)$ 에서 가능한 한 멀리 있을 때 얻어진다. 가장 높은 점은 $(\pm 1,\pm 1,\sqrt{2})$ 이다. 이 점들에서 $z_x$ 와 $z_y$ 는 존재하지만 0이 아니다. $|x|,|y|\le 1$ 이라는 제한이 없다면 이 점들은 가장 높은 점이 아닐 것이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산기본자동 분류