극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 5번

CLP-3 · 2.9절 · 5번대학 수준우리말 번역

2계 도함수 판정법을 이용하여, 함수 $z = x^2 + cxy + y^2$ 이 $(0,0)$ 에서 안장점을 갖도록 하는 상수 $c$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Use the Second Derivative Test to find all values of the constant $c$ for which the function $z = x^2 + cxy + y^2$ has a saddle point at $(0,0)$ .

정답·풀이 보기

$f(x,y) = x^2 +cxy +y^2$ 이라 하자. 그러면

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= 2x+cy & f_x(0,0) = 0 \\ f_y(x,y)&= cx+2y & f_y(0,0) = 0 \\ f_{xx}(x,y) &= 2 \\ f_{xy}(x,y) &= c \\ f_{yy}(x,y) &= 2 \end{aligned}$

$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 이므로 $(0,0)$ 은 항상 $f$ 의 임계점이다. 2계 도함수 판정법에 따르면, 다음이 성립할 때 $(0,0)$ 은 $f$ 의 안장점이다.

$\begin{aligned} f_{xx}(0,0) f_{yy}(0,0) - f_{xy}(0,0)^2 <0 \iff 4-c^2 <0 \iff |c|>2 \end{aligned}$

참고로, 식 $f_{xx}(0,0) f_{yy}(0,0) - f_{xy}(0,0)^2 =0$ 일 때, 즉 $c=\pm 2$ 일 때에는 2계 도함수 판정법으로 알 수 있는 정보가 없다. 그런데 $c=\pm 2$ 일 때

$f(x,y) = x^2 \pm 2xy + y^2 =(x\pm y)^2$

이고, $f$ 는 $(0,0)$ 에서 안장점이 아니라 극솟값을 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $f(x,y) = x^2 +cxy +y^2$ . Then

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= 2x+cy & f_x(0,0) = 0 \\ f_y(x,y)&= cx+2y & f_y(0,0) = 0 \\ f_{xx}(x,y) &= 2 \\ f_{xy}(x,y) &= c \\ f_{yy}(x,y) &= 2 \end{aligned}$

As $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ , we have that $(0,0)$ is always a critical point for $f$ . According to the Second Derivative Test, $(0,0)$ is also a saddle point for $f$ if

$\begin{aligned} f_{xx}(0,0) f_{yy}(0,0) - f_{xy}(0,0)^2 <0 \iff 4-c^2 <0 \iff |c|>2 \end{aligned}$

As a remark, the Second Derivative Test provides no information when the expression $f_{xx}(0,0) f_{yy}(0,0) - f_{xy}(0,0)^2 =0$ , i.e. when $c=\pm 2$ . But when $c=\pm 2$ ,

$f(x,y) = x^2 \pm 2xy + y^2 =(x\pm y)^2$

and $f$ has a local minimum, not a saddle point, at $(0,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 12.8절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 다변수 연쇄 법칙은 관련된 함수가 모두 명시적으로 주어져 있을 때에만 유용하다.

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