빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

극값과 안장점

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.9절 · 14번대학 수준우리말 번역

아래 그림들은 목록에 있는 함수들의 등위집합 f(x,y)=cf (x, y) = c 를 높이 c=0,0.1,0.2,…,1.9,2c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2 에서 나타낸 것입니다. 각 그림에 해당하는 함수를 짝지어 쓰고, 각 그림에 임계점을 표시하세요. (경우에 따라 임계점이 그림에 이미 그려져 있지 않을 수도 있습니다. 그런 경우에는 직접 그림에 추가하세요.)

(ⅰ) f(x,y)=(x2+y2−1)(x−y)+1f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1 (ⅱ) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} (ⅲ) f(x,y)=y(x+y)(x−y)+1f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1 (ⅳ) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2

그림

그림

그림

그림

영어 원문 보기

The images below depict level sets f(x,y)=cf (x, y) = c of the functions in the list at heights c=0,0.1,0.2,…,1.9,2c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2. Label the pictures with the corresponding function and mark the critical points in each picture. (Note that in some cases, the critical points might not be drawn on the images already. In those cases you should add them to the picture.)

(i) f(x,y)=(x2+y2−1)(x−y)+1f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1 (ii) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} (iii) f(x,y)=y(x+y)(x−y)+1f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1 (iv) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2

figure

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정답·풀이 보기

두 함수 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} (즉 (ⅱ))와 f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2 (즉 (ⅳ))은 모두 (0,0)(0,0) 을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. 따라서 이 함수들의 등위선은 원점을 중심으로 하는 원이다. 극좌표에서 x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} 은 rr 이다. 그러므로 (ⅱ)의 함수에 대해 그려진 등위선은 r=0,0.1,0.2,…,1.9,2r = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2 이다. 이들은 간격이 일정하다. 따라서 이 시점에서 세 번째 그림은 (ⅳ)에, 네 번째 그림은 (ⅱ)에 해당함을 알 수 있다.

직선 x=yx=y, x=−yx=-y, y=0y=0 은 모두 함수 f(x,y)=y(x+y)(x−y)+1f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1 (즉 (ⅲ))의 f=1f=1 인 등위선임에 주목하자. 따라서 첫 번째 그림은 (ⅲ)에 해당한다. 그러면 두 번째 그림은 (ⅰ)에 해당한다.

다음은 임계점을 표시한 그림들이다. 등위선이 서로 교차하는 곳에는 안장점이 있고, “과녁 모양”의 중심에는 극대점 또는 극소점이 있다.

(ⅰ) 그림

(ⅱ) 그림

(ⅲ) 그림

(ⅳ) 그림

원본 교재 풀이(영어)

Both of the functions f(x,y)=x2+y2f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} (i.e. (ii)) and f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2 (i.e. (iv)) are invariant under rotations around the (0,0)(0,0). So their level curves are circles centred on the origin. In polar coordinates x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} is rr. So the sketched level curves of the function in (ii) are r=0,0.1,0.2,…,1.9,2r = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2. They are equally spaced. So at this point, we know that the third picture goes with (iv) and the fourth picture goes with (ii).

Notice that the lines x=yx=y, x=−yx=-y and y=0y=0 are all level curves of the function f(x,y)=y(x+y)(x−y)+1f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1 (i.e. of (iii)) with f=1f=1. So the first picture goes with (iii). And the second picture goes with (i).

Here are the pictures with critical points marked on them. There are saddle points where level curves cross and there are local max's or min's at “bull's eyes”.

(i) figure

(ii) figure

(iii) figure

(iv) figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 25번우리말 번역

금속판이 xx축과 x2+y2=4x^2+y^2=4 의 위쪽 절반으로 둘러싸인 반원 모양의 원판이다. 점 (x,y)(x,y) 에서의 온도는 T(x,y)=ln⁡(1+x2+y2)−yT(x,y)=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y 로 주어진다. 판 위에서 가장 차가운 점을 구하되, 풀이 과정을 자세히 설명하세요. (참고: ln⁡2≈0.693\ln 2\approx 0.693, ln⁡5≈1.609\ln 5\approx 1.609)

다 풀었으면 정답 확인

가장 차가운 점은 판의 경계 위에 있거나 판의 내부에 있어야 한다.

  • 경계 중 반원 부분에서는 0≤y≤20\le y\le 2 이고 x2+y2=4x^2+y^2=4 이므로 T=ln⁡(1+x2+y2)−y=ln⁡5−yT=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln 5-y 이다. ln⁡5−y\ln 5-y 의 최솟값은 yy 가 가능한 한 클 때, 즉 y=2y=2 일 때 나타나며 그 값은 ln⁡5−2≈−0.391\ln 5 -2\approx -0.391 이다.
  • 경계 중 평평한 부분에서는 y=0y=0 이고 −2≤x≤2-2\le x\le 2 이므로 T=ln⁡(1+x2+y2)−y=ln⁡(1+x2)T=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y=\ln\big(1+x^2\big) 이다. ln⁡(1+x2)\ln\big(1+x^2\big) 의 최솟값은 xx 가 가능한 한 작을 때, 즉 x=0x=0 일 때 나타나며 그 값은 00 이다.
  • 가장 차가운 점이 판의 내부에 있다면 그 점은 T(x,y)T(x,y) 의 임계점이어야 한다.

Tx(x,y)=2x1+x2+y2Ty(x,y)=2y1+x2+y2−1\begin{aligned} T_x(x,y)=\frac{2x}{1+x^2+y^2}\qquad T_y(x,y)=\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1 \end{aligned}

이므로 임계점에서는 x=0x=0 이고 2y1+x2+y2−1=0\frac{2y}{1+x^2+y^2}-1=0 이어야 한다. 이는 x=0x=0 이고 2y−1−y2=02y-1-y^2=0 일 때, 그리고 그때에만 성립한다. 따라서 유일한 임계점은 x=0, y=1x=0,\ y=1 이며, 이때 T=ln⁡2−1≈−0.307T=\ln 2-1\approx -0.307 이다.

−0.391<−0.307<0-0.391<-0.307<0 이므로 가장 낮은 온도는 −0.391-0.391 이고 가장 차가운 점은 (0,2)(0,2) 이다.

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