극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 18번

CLP-3 · 2.9절 · 18번대학 수준우리말 번역

닫힌 유계 정의역 $x^2 + y^2 \le 1$ 에서 함수 $h(x,y) = -4x - 2y + 6$ 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum of the function $h(x,y) = -4x - 2y + 6$ on the closed bounded domain defined by $x^2 + y^2 \le 1$ .

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정답·풀이 보기

${ \boldsymbol{\nabla} } h = \left< -4\,,\,-2 \right>$ 는 결코 영이 되지 않으므로 $h$ 는 임계점을 갖지 않고, 원판 $x^2+y^2\le 1$ 에서 $h$ 의 최솟값은 원판의 경계 $x^2+y^2=1$ 에서 나타나야 한다. 경계에서의 최솟값을 구하기 위해 $x^2+y^2\le 1$ 을 $x=\cos\theta$ , $y=\sin\theta$ 로 매개변수화하고 다음의 최솟값을 구한다.

$\begin{aligned} H(\theta) = -4\cos\theta -2\sin\theta +6 \end{aligned}$

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} 0=H'(\theta) = 4\sin\theta -2\cos\theta \implies x=\cos\theta = 2\sin\theta =2y \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} 1=x^2+y^2 = 4y^2 +y^2 =5 y^2 \implies y = \pm\frac{1}{\sqrt{5}},\ x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

이 두 점에서

$\begin{aligned} h = 6-4x-2y = 6 - 10y =6 \mp \frac{10}{\sqrt{5}} =6 \mp 2\sqrt{5} \end{aligned}$

이다. 최솟값은 $6-2\sqrt{5}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${ \boldsymbol{\nabla} } h = \left< -4\,,\,-2 \right>$ is never zero, $h$ has no critical points and the minimum of $h$ on the disk $x^2+y^2\le 1$ must be taken on the boundary, $x^2+y^2=1$ , of the disk. To find the minimum on the boundary, we parametrize $x^2+y^2\le 1$ by $x=\cos\theta$ , $y=\sin\theta$ and find the minimum of

$\begin{aligned} H(\theta) = -4\cos\theta -2\sin\theta +6 \end{aligned}$

Since

$\begin{aligned} 0=H'(\theta) = 4\sin\theta -2\cos\theta \implies x=\cos\theta = 2\sin\theta =2y \end{aligned}$

$\begin{aligned} 1=x^2+y^2 = 4y^2 +y^2 =5 y^2 \implies y = \pm\frac{1}{\sqrt{5}},\ x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

At these two points

$\begin{aligned} h = 6-4x-2y = 6 - 10y =6 \mp \frac{10}{\sqrt{5}} =6 \mp 2\sqrt{5} \end{aligned}$

The minimum is $6-2\sqrt{5}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 21번우리말 번역

함수

$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y$

를 생각하세요.

(a) $f(x,y)$ 의 모든 임계점을 구하고 분류하세요. (b) 꼭짓점이 $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ 인 삼각형 영역에서 $f(x,y)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a)

$\begin{aligned} f&=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \\ f_x&=6x^2-6y & f_{xx}&=12x\qquad && f_{xy}&= -6\\ f_y&=-6x+2y+4\qquad & f_{yy}&=2 \end{aligned}$

이므로 임계점은 다음 식의 해이다.

$\begin{aligned} & & &f_x=0\qquad & &f_y=0 \\ &\iff\qquad& &y=x^2\qquad & &y-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x^2-3x+2=0 \\ &\iff& &y=x^2 & &x=1\text{ 또는 }2 \end{aligned}$

따라서 임계점은 $(1,1),\ (2,4)$ 의 두 개이다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (1,1) & 12\times 2-(-6)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (2,4) & 24\times 2-(-6)^2>0 & 24 & \text{극소} \\ \hline \end{array}$

(b) 허용된 영역의 내부에는 임계점이 없으므로 최댓값과 최솟값은 모두 경계에서만 나타난다. 경계는 선분 (i) $x=1$ , $0\le y\le 1$ , (ii) $y=1$ , $0\le x\le 1$ , (iii) $y=1-x$ , $0\le x\le 1$ 로 이루어져 있다.

먼저 경계 중 $x=1$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=y^2-2y+2$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y^2-2y+2)=2y-2$ 는 $y=1$ 에서만 $0$ 이 되므로, $0\le y\le 1$ 에서 $y^2-2y+2$ 의 최댓값과 최솟값은 $y=0$ 일 때( $f=2$ ) 또는 $y=1$ 일 때( $f=1$ )에 나타난다.
다음으로 경계 중 $y=1$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=2x^3-6x+5$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3-6x+5)=6x^2-6$ 이므로, $0\le x\le 1$ 에서 $2x^3-6x+5$ 의 최댓값과 최솟값은 $x=0$ 일 때( $f=5$ ) 또는 $x=1$ 일 때( $f=1$ )에 나타난다.
다음으로 경계 중 $y=1-x$ 인 부분을 살펴보자. 여기서 $f=2x^3-6x(1-x) +(1-x)^2+4(1-x)=2x^3+7x^2-12x+5$ 이다. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^3+7x^2-12x+5)=6x^2+14x-12 =2\big(3x^2+7x-6\big) =2(3x-2)(x+3)$ 이므로, $0\le x\le 1$ 에서 $2x^3+7x^2-12x+5$ 의 최댓값과 최솟값은 $x=0$ 일 때( $f=5$ ), 또는 $x=1$ 일 때( $f=2$ ), 또는 $x=\frac{2}{3}$ 일 때( $f=2(\frac{8}{27})-6(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})+\frac{1}{9}+\frac{4}{3} =\frac{16-36+3+36}{27} =\frac{19}{27}$ )에 나타난다.

따라서 종합하면 최댓값과 최솟값의 후보는 다음과 같으며, 최댓값과 최솟값을 표시하였다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{점} & (1,0) & (1,1) & (0,1) & \big(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\big) \\ \hline \text{함숫값 }f & 2 & 1 & 5 & \frac{19}{27} \\ \hline & & & \text{최대} & \text{최소} \\ \hline \end{array}$

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류