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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

극값과 안장점

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.9절 · 22번대학 수준우리말 번역

함수 f(x,y)=x4+y4−4xy+2f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2 의 임계점을 모두 구하고, 각 임계점이 극솟값, 극댓값, 안장점 중 어느 것인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Find all critical points of the function f(x,y)=x4+y4−4xy+2f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2, and for each determine whether it is a local minimum, maximum or saddle point.

정답·풀이 보기

다음과 같다.

f(x,y)=x4+y4−4xy+2fx(x,y)=4x3−4yfxx(x,y)=12x2fy(x,y)=4y3−4xfyy(x,y)=12y2fxy(x,y)=−4\begin{aligned} f(x,y)&=x^4+y^4-4xy+2\quad & f_x(x,y)&=4x^3-4y\quad & f_{xx}(x,y)&=12x^2 \\ & & f_y(x,y)&=4y^3-4x & f_{yy}(x,y)&=12y^2 \\ & & & &f_{xy}(x,y)&=-4 \end{aligned}

임계점에서는

fx(x,y)=fy(x,y)=0  ⟺  y=x3 그리고 x=y3  ⟺  x=x9 그리고 y=x3  ⟺  x(x8−1)=0, y=x3  ⟺  (x,y)=(0,0) 또는 (1,1) 또는 (−1,−1)\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff y=x^3\text{ 그리고 }x=y^3 \\ &\iff x=x^9\text{ 그리고 }y=x^3 \\ &\iff x(x^8-1)=0,\ y=x^3 \\ &\iff (x,y)=(0,0)\text{ 또는 }(1,1)\text{ 또는 }(-1,-1) \end{aligned}

세 임계점 각각의 분류를 나타낸 표는 다음과 같다.

임계점fxxfyy−fxy2fxx종류(0,0)0×0−(−4)2<0안장점(1,1)12×12−(−4)2>012극소(−1,−1)12×12−(−4)2>012극소\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (0,0) & 0\times 0-(-4)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (1,1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{극소} \\ \hline (-1,-1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{극소} \\ \hline \end{array}

원본 교재 풀이(영어)

We have

f(x,y)=x4+y4−4xy+2fx(x,y)=4x3−4yfxx(x,y)=12x2fy(x,y)=4y3−4xfyy(x,y)=12y2fxy(x,y)=−4\begin{aligned} f(x,y)&=x^4+y^4-4xy+2\quad & f_x(x,y)&=4x^3-4y\quad & f_{xx}(x,y)&=12x^2 \\ & & f_y(x,y)&=4y^3-4x & f_{yy}(x,y)&=12y^2 \\ & & & &f_{xy}(x,y)&=-4 \end{aligned}

At a critical point

fx(x,y)=fy(x,y)=0  ⟺  y=x3 and x=y3  ⟺  x=x9 and y=x3  ⟺  x(x8−1)=0, y=x3  ⟺  (x,y)=(0,0) or (1,1) or (−1,−1)\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff y=x^3\text{ and }x=y^3 \\ &\iff x=x^9\text{ and }y=x^3 \\ &\iff x(x^8-1)=0,\ y=x^3 \\ &\iff (x,y)=(0,0)\text{ or }(1,1)\text{ or }(-1,-1) \end{aligned}

Here is a table giving the classification of each of the three critical points.

criticalpointfxxfyy−fxy2fxxtype(0,0)0×0−(−4)2<0saddle point(1,1)12×12−(−4)2>012local min(−1,−1)12×12−(−4)2>012local min\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{critical}}{\text{point}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{type} \\ \hline (0,0) & 0\times 0-(-4)^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline (1,1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{local min} \\ \hline (-1,-1) & 12\times 12-(-4)^2>0 & \text{12} & \text{local min} \\ \hline \end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 18번우리말 번역

닫힌 유계 정의역 x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1 에서 함수 h(x,y)=−4x−2y+6h(x,y) = -4x - 2y + 6 의 최솟값을 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

∇h=<−4 , −2>{ \boldsymbol{\nabla} } h = \left< -4\,,\,-2 \right> 는 결코 영이 되지 않으므로 hh 는 임계점을 갖지 않고, 원판 x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 에서 hh 의 최솟값은 원판의 경계 x2+y2=1x^2+y^2=1 에서 나타나야 한다. 경계에서의 최솟값을 구하기 위해 x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 을 x=cos⁡θx=\cos\theta, y=sin⁡θy=\sin\theta 로 매개변수화하고 다음의 최솟값을 구한다.

H(θ)=−4cos⁡θ−2sin⁡θ+6\begin{aligned} H(\theta) = -4\cos\theta -2\sin\theta +6 \end{aligned}

다음이 성립하므로

0=H′(θ)=4sin⁡θ−2cos⁡θ  ⟹  x=cos⁡θ=2sin⁡θ=2y\begin{aligned} 0=H'(\theta) = 4\sin\theta -2\cos\theta \implies x=\cos\theta = 2\sin\theta =2y \end{aligned}

따라서

1=x2+y2=4y2+y2=5y2  ⟹  y=±15, x=±25\begin{aligned} 1=x^2+y^2 = 4y^2 +y^2 =5 y^2 \implies y = \pm\frac{1}{\sqrt{5}},\ x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} \end{aligned}

이 두 점에서

h=6−4x−2y=6−10y=6∓105=6∓25\begin{aligned} h = 6-4x-2y = 6 - 10y =6 \mp \frac{10}{\sqrt{5}} =6 \mp 2\sqrt{5} \end{aligned}

이다. 최솟값은 6−256-2\sqrt{5} 이다.

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