극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 26번

CLP-3 · 2.9절 · 26번대학 수준우리말 번역

$xy$ 평면에서 정의된 함수

$f(x,y)=x^3+xy^2-x$

의 임계점을 모두 구하세요. 각 임계점이 극소, 극대, 안장점 중 어느 것인지 분류하세요. 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Find all the critical points of the function

$f(x,y)=x^3+xy^2-x$

defined in the $xy$ -plane. Classify each critical point as a local minimum, maximum or saddle point. Explain your reasoning.

정답·풀이 보기

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} f(x,y)&=x^3+xy^2-x\qquad & f_x(x,y)&=3x^2+y^2-1\qquad & f_{xx}(x,y)&=6x \\ & & f_y(x,y)&=2xy & f_{yy}(x,y)&=2x \\ & & & & f_{xy}(x,y)&=2y \end{aligned}$

임계점에서는

$\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff xy=0\text{ 그리고 }3x^2+y^2=1 \\ &\iff \{x=0\text{ 또는 }y=0\}\text{ 그리고 }3x^2+y^2=1 \\ &\iff (x,y)=(0,1)\text{ 또는 }(0,-1)\text{ 또는 }\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) \text{ 또는 }\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) \end{aligned}$

이다. 다음 표는 네 임계점 각각의 분류를 나타낸 것이다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{유형} \\ \hline (0,1) & 0\times 0-2^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (0,-1) & 0\times 0-(-2)^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline \big(\frac{1}{\sqrt{3}},0\big) & 2\sqrt{3}\times\frac{2}{\sqrt{3}}-0^2>0 & 2\sqrt{3} & \text{극소} \\ \hline \big(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\big) & -2\sqrt{3}\times \big(-\frac{2}{\sqrt{3}}\big)-0^2>0 & -2\sqrt{3} & \text{극대} \\ \hline \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

We have

$\begin{aligned} f(x,y)&=x^3+xy^2-x\qquad & f_x(x,y)&=3x^2+y^2-1\qquad & f_{xx}(x,y)&=6x \\ & & f_y(x,y)&=2xy & f_{yy}(x,y)&=2x \\ & & & & f_{xy}(x,y)&=2y \end{aligned}$

At a critical point

$\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff xy=0\text{ and }3x^2+y^2=1 \\ &\iff \{x=0\text{ or }y=0\}\text{ and }3x^2+y^2=1 \\ &\iff (x,y)=(0,1)\text{ or }(0,-1)\text{ or }\left(\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) \text{ or }\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\right) \end{aligned}$

Here is a table giving the classification of each of the four critical points.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{critical}}{\text{point}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{type} \\ \hline (0,1) & 0\times 0-2^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline (0,-1) & 0\times 0-(-2)^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline \big(\frac{1}{\sqrt{3}},0\big) & 2\sqrt{3}\times\frac{2}{\sqrt{3}}-0^2>0 & 2\sqrt{3} & \text{local min} \\ \hline \big(-\frac{1}{\sqrt{3}},0\big) & -2\sqrt{3}\times \big(-\frac{2}{\sqrt{3}}\big)-0^2>0 & -2\sqrt{3} & \text{local max} \\ \hline \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 14번우리말 번역

아래 그림들은 목록에 있는 함수들의 등위집합 $f (x, y) = c$ 를 높이 $c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ 에서 나타낸 것입니다. 각 그림에 해당하는 함수를 짝지어 쓰고, 각 그림에 임계점을 표시하세요. (경우에 따라 임계점이 그림에 이미 그려져 있지 않을 수도 있습니다. 그런 경우에는 직접 그림에 추가하세요.)

(ⅰ) $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1$ (ⅱ) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (ⅲ) $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (ⅳ) $f(x, y) = x^2 + y^2$

다 풀었으면 정답 확인

두 함수 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ (즉 (ⅱ))와 $f(x, y) = x^2 + y^2$ (즉 (ⅳ))은 모두 $(0,0)$ 을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. 따라서 이 함수들의 등위선은 원점을 중심으로 하는 원이다. 극좌표에서 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 은 $r$ 이다. 그러므로 (ⅱ)의 함수에 대해 그려진 등위선은 $r = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2$ 이다. 이들은 간격이 일정하다. 따라서 이 시점에서 세 번째 그림은 (ⅳ)에, 네 번째 그림은 (ⅱ)에 해당함을 알 수 있다.

직선 $x=y$ , $x=-y$ , $y=0$ 은 모두 함수 $f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$ (즉 (ⅲ))의 $f=1$ 인 등위선임에 주목하자. 따라서 첫 번째 그림은 (ⅲ)에 해당한다. 그러면 두 번째 그림은 (ⅰ)에 해당한다.

다음은 임계점을 표시한 그림들이다. 등위선이 서로 교차하는 곳에는 안장점이 있고, “과녁 모양”의 중심에는 극대점 또는 극소점이 있다.

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류