빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

극값과 안장점

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.9절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 임계점을 모두 구하고 분류하세요. f(x,y)=x3−3xy2−3x2−3y2f(x,y)=x^3-3xy^2-3x^2-3y^2

영어 원문 보기

Find and classify all critical points of f(x,y)=x3−3xy2−3x2−3y2f(x,y)=x^3-3xy^2-3x^2-3y^2

정답·풀이 보기

다음과 같다.

f(x,y)=x3−3xy2−3x2−3y2fx(x,y)=3x2−3y2−6xfxx(x,y)=6x−6fy(x,y)=−6xy−6yfyy(x,y)=−6x−6fxy(x,y)=−6y\begin{aligned} f(x,y)&=x^3-3xy^2-3x^2-3y^2\qquad & f_x(x,y)&=3x^2-3y^2-6x\qquad & f_{xx}(x,y)&=6x-6 \\ & & f_y(x,y)&=-6xy-6y & f_{yy}(x,y)&=-6x-6 \\ & & & &f_{xy}(x,y)&=-6y \end{aligned}

임계점에서

fx(x,y)=fy(x,y)=0  ⟺  3(x2−y2−2x)=0 그리고 −6y(x+1)=0  ⟺  {x=−1 또는 y=0} 그리고 x2−y2−2x=0  ⟺  (x,y)=(−1,3) 또는 (−1,−3) 또는 (0,0) 또는 (2,0)\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff 3(x^2-y^2-2x)=0\text{ 그리고 }-6y(x+1)=0 \\ &\iff \{x=-1\text{ 또는 }y=0\}\text{ 그리고 }x^2-y^2-2x=0 \\ &\iff (x,y)=(-1,\sqrt{3})\text{ 또는 }(-1,-\sqrt{3})\text{ 또는 }(0,0) \text{ 또는 }(2,0) \end{aligned}

네 임계점 각각의 분류를 나타낸 표는 다음과 같다.

임계점fxxfyy−fxy2fxx종류(0,0)(−6)×(−6)−02>0−6극대(2,0)6×(−18)−02<0안장점(−1,3)(−12)×0−(−63)2<0안장점(−1,−3)(−12)×0−(63)2<0안장점\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{임계}}{\text{점}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{종류} \\ \hline (0,0) & (-6)\times(-6)-0^2>0 & -6 & \text{극대} \\ \hline (2,0) & 6\times(-18)-0^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (-1,\sqrt{3}) & (-12)\times0-(-6\sqrt{3})^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline (-1,-\sqrt{3}) & (-12)\times 0-(6\sqrt{3})^2<0 & & \text{안장점} \\ \hline \end{array}

원본 교재 풀이(영어)

We have

f(x,y)=x3−3xy2−3x2−3y2fx(x,y)=3x2−3y2−6xfxx(x,y)=6x−6fy(x,y)=−6xy−6yfyy(x,y)=−6x−6fxy(x,y)=−6y\begin{aligned} f(x,y)&=x^3-3xy^2-3x^2-3y^2\qquad & f_x(x,y)&=3x^2-3y^2-6x\qquad & f_{xx}(x,y)&=6x-6 \\ & & f_y(x,y)&=-6xy-6y & f_{yy}(x,y)&=-6x-6 \\ & & & &f_{xy}(x,y)&=-6y \end{aligned}

At a critical point

fx(x,y)=fy(x,y)=0  ⟺  3(x2−y2−2x)=0 and −6y(x+1)=0  ⟺  {x=−1 or y=0} and x2−y2−2x=0  ⟺  (x,y)=(−1,3) or (−1,−3) or (0,0) or (2,0)\begin{aligned} f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 &\iff 3(x^2-y^2-2x)=0\text{ and }-6y(x+1)=0 \\ &\iff \{x=-1\text{ or }y=0\}\text{ and }x^2-y^2-2x=0 \\ &\iff (x,y)=(-1,\sqrt{3})\text{ or }(-1,-\sqrt{3})\text{ or }(0,0) \text{ or }(2,0) \end{aligned}

Here is a table giving the classification of each of the four critical points.

criticalpointfxxfyy−fxy2fxxtype(0,0)(−6)×(−6)−02>0−6local max(2,0)6×(−18)−02<0saddle point(−1,3)(−12)×0−(−63)2<0saddle point(−1,−3)(−12)×0−(63)2<0saddle point\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \genfrac{}{}{0pt}{}{\text{critical}}{\text{point}} & f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 & f_{xx} & \text{type} \\ \hline (0,0) & (-6)\times(-6)-0^2>0 & -6 & \text{local max} \\ \hline (2,0) & 6\times(-18)-0^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline (-1,\sqrt{3}) & (-12)\times0-(-6\sqrt{3})^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline (-1,-\sqrt{3}) & (-12)\times 0-(6\sqrt{3})^2<0 & & \text{saddle point} \\ \hline \end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 30번우리말 번역

길이가 100 미터인 울타리의 양 끝에서 같은 거리만큼 떨어진 두 곳을 같은 각도로 꺾어서, 이렇게 만들어진 세 선분짜리 울타리를 기존의 벽을 따라 놓아 사다리꼴 모양의 우리를 만들려고 합니다. 이러한 우리의 넓이가 가질 수 있는 최댓값을 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

울타리의 양 끝에서 거리 xx 만큼 떨어진 곳을 꺾고, 꺾은 각이 θ\theta 라고 하자. 우리의 개략도는 다음과 같다.

그림

이 우리는 두 변의 길이가 100−2x100-2x 와 xsin⁡θx\sin\theta 인 직사각형과, 높이가 xsin⁡θx\sin\theta 이고 밑변의 길이가 xcos⁡θx\cos\theta 인 두 삼각형으로 이루어진다. 따라서 우리의 넓이는 다음과 같다.

A(x,θ)=(100−2x)xsin⁡θ+2⋅12⋅xsin⁡θ⋅xcos⁡θ=(100x−2x2)sin⁡θ+12x2sin⁡(2θ)\begin{aligned} A(x,\theta)&=(100-2x)x\sin\theta+2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot x\sin\theta\cdot x\cos\theta\\ &=(100x-2x^2)\sin\theta+\tfrac{1}{2} x^2\sin(2\theta) \end{aligned}

넓이를 최대로 하려면 다음을 풀어야 한다.

0=Ax=(100−4x)sin⁡θ+xsin⁡(2θ)  ⟹  (100−4x)+2xcos⁡θ=00=Aθ=(100x−2x2)cos⁡θ+x2cos⁡(2θ)  ⟹  (100−2x)cos⁡θ+xcos⁡(2θ)=0\begin{aligned} 0=A_x&=(100-4x)\sin\theta+x\sin(2\theta) & &\implies & (100-4x)+2x\cos\theta&=0\\ 0=A_\theta&=(100x-2x^2)\cos\theta+x^2\cos(2\theta)\quad & &\implies\quad & (100-2x)\cos\theta+x\cos(2\theta)&=0 \end{aligned}

여기서 넓이가 최대인 울타리는 sin⁡θ=0\sin\theta=0 또는 x=0x=0 일 수 없음을 이용했는데, 이 두 경우 중 어느 쪽이든 둘러싼 넓이가 0이 되기 때문이다. 첫 번째 식에서 cos⁡θ=−100−4x2x\cos\theta=-\frac{100-4x}{2x} 이고, 따라서 cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1=(100−4x)22x2−1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1 이다. 이를 두 번째 식에 대입하면 다음을 얻는다.

−(100−2x)100−4x2x+x[(100−4x)22x2−1]=0  ⟹  −(100−2x)(100−4x)+(100−4x)2−2x2=0  ⟹  6x2−200x=0  ⟹  x=1003cos⁡θ=−−100/3200/3=12θ=60∘A=(1001003−2100232)32+1210023232=25003\begin{aligned} & & -(100-2x)\frac{100-4x}{2x}+x\Big[\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1\Big]&=0 \\ &\implies & -(100-2x)(100-4x)+(100-4x)^2-2x^2&=0 \\ &\implies & 6x^2-200x&=0 \\ &\implies & x=\frac{100}{3} \quad\cos\theta=-\frac{-100/3}{200/3}=\frac{1}{2}\quad \theta&=60^\circ\\ & & A= \left(100\frac{100}{3}-2\frac{100^2}{3^2}\right) \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \frac{100^2}{3^2}\frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{2500}{\sqrt{3}} \end{aligned}

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