극값과 안장점 연습문제 — CLP-3 · 2.9절 · 30번

CLP-3 · 2.9절 · 30번대학 수준우리말 번역

길이가 100 미터인 울타리의 양 끝에서 같은 거리만큼 떨어진 두 곳을 같은 각도로 꺾어서, 이렇게 만들어진 세 선분짜리 울타리를 기존의 벽을 따라 놓아 사다리꼴 모양의 우리를 만들려고 합니다. 이러한 우리의 넓이가 가질 수 있는 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Equal angle bends are made at equal distances from the two ends of a 100 metre long fence, so that the resulting three segment fence can be placed along an existing wall to make an enclosure of trapezoidal shape. What is the largest possible area for such an enclosure?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

울타리의 양 끝에서 거리 $x$ 만큼 떨어진 곳을 꺾고, 꺾은 각이 $\theta$ 라고 하자. 우리의 개략도는 다음과 같다.

이 우리는 두 변의 길이가 $100-2x$ 와 $x\sin\theta$ 인 직사각형과, 높이가 $x\sin\theta$ 이고 밑변의 길이가 $x\cos\theta$ 인 두 삼각형으로 이루어진다. 따라서 우리의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} A(x,\theta)&=(100-2x)x\sin\theta+2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot x\sin\theta\cdot x\cos\theta\\ &=(100x-2x^2)\sin\theta+\tfrac{1}{2} x^2\sin(2\theta) \end{aligned}$

넓이를 최대로 하려면 다음을 풀어야 한다.

$\begin{aligned} 0=A_x&=(100-4x)\sin\theta+x\sin(2\theta) & &\implies & (100-4x)+2x\cos\theta&=0\\ 0=A_\theta&=(100x-2x^2)\cos\theta+x^2\cos(2\theta)\quad & &\implies\quad & (100-2x)\cos\theta+x\cos(2\theta)&=0 \end{aligned}$

여기서 넓이가 최대인 울타리는 $\sin\theta=0$ 또는 $x=0$ 일 수 없음을 이용했는데, 이 두 경우 중 어느 쪽이든 둘러싼 넓이가 0이 되기 때문이다. 첫 번째 식에서 $\cos\theta=-\frac{100-4x}{2x}$ 이고, 따라서 $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1$ 이다. 이를 두 번째 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} & & -(100-2x)\frac{100-4x}{2x}+x\Big[\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1\Big]&=0 \\ &\implies & -(100-2x)(100-4x)+(100-4x)^2-2x^2&=0 \\ &\implies & 6x^2-200x&=0 \\ &\implies & x=\frac{100}{3} \quad\cos\theta=-\frac{-100/3}{200/3}=\frac{1}{2}\quad \theta&=60^\circ\\ & & A= \left(100\frac{100}{3}-2\frac{100^2}{3^2}\right) \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \frac{100^2}{3^2}\frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{2500}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that the bends are made a distance $x$ from the ends of the fence and that the bends are through an angle $\theta$ . Here is a sketch of the enclosure.

It consists of a rectangle, with side lengths $100-2x$ and $x\sin\theta$ , together with two triangles, each of height $x\sin\theta$ and base length $x\cos\theta$ . So the enclosure has area

$\begin{aligned} A(x,\theta)&=(100-2x)x\sin\theta+2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot x\sin\theta\cdot x\cos\theta\\ &=(100x-2x^2)\sin\theta+\tfrac{1}{2} x^2\sin(2\theta) \end{aligned}$

The maximize the area, we need to solve

Here we have used that the fence of maximum area cannot have $\sin\theta=0$ or $x=0$ , because in either of these two cases, the area enclosed will be zero. The first equation forces $\cos\theta=-\frac{100-4x}{2x}$ and hence $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1$ . Substituting these into the second equation gives

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.9절 · 31번우리말 번역

부피가 $V$ 로 고정되어 있고 뚜껑이 없는 직육면체 상자 중에서 가장 경제적인 모양을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

상자의 각 모서리의 길이를 $x$ , $y$ , $z$ 라고 하자. 그림은 다음과 같다.

상자의 부피가 $V$ 이어야 하므로 $V=xyz$ 이어야 한다. 옆면 네 개와 밑면의 넓이 $A=xy+2yz+2xz$ 를 최소로 만들려고 한다. $z=\frac{V}{xy}$ 를 대입하면

$\begin{aligned} A&=xy+2\frac{V}{x}+2\frac{V}{y}\\ A_x&=y-2\frac{V}{x^2}\\ A_y&=x-2\frac{V}{y^2} \end{aligned}$

최소가 되려면 $A_x=A_y=0$ 이어야 하며, 이는 $yx^2=2V,\ xy^2=2V$ 일 때이다. 따라서 $yx^2=xy^2$ 이다. $V=xyz$ 가 0이 아니므로 $x$ 와 $y$ 는 어느 쪽도 0이 될 수 없다. 그러므로 $x=y=(2V)^{1/3}$ , $z=2^{-2/3}V^{1/3}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극값과 안장점계산보통자동 분류