빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

일반 영역의 이중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

f(x,y)=12x2y3f(x,y)= 12 x^2y^3 이라 하자. 다음 값을 구하세요.

(a) ∫03f(x,y) dx\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x (b) ∫02f(x,y) dy\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y (c) ∫02∫03f(x,y) dx dy\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y (d) ∫03∫02f(x,y) dy dx\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x (e) ∫03∫02f(x,y) dx dy\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

영어 원문 보기

Let f(x,y)=12x2y3f(x,y)= 12 x^2y^3. Evaluate

(a) ∫03f(x,y) dx\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x (b) ∫02f(x,y) dy\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y (c) ∫02∫03f(x,y) dx dy\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y (d) ∫03∫02f(x,y) dy dx\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x (e) ∫03∫02f(x,y) dx dy\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

정답·풀이 보기

(a) xx 에 대한 적분에서는 yy 를 상수로 취급한다. 따라서

∫03f(x,y) dx=∫0312x2y3 dx=[4x3y3]x=0x=3=108y3\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}

(b) yy 에 대한 적분에서는 xx 를 상수로 취급한다. 따라서

∫02f(x,y) dy=∫0212x2y3 dy=[3x2y4]y=0y=2=48x2\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}

(c) (a)에 의해

∫02∫03f(x,y) dx dy=∫02[∫03f(x,y) dx]dy=∫02108y3 dy=[27y4]y=0y=2=27×16=432\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}

(d) (b)에 의해

∫03∫02f(x,y) dy dx=∫03[∫02f(x,y) dy]dx=∫0348x2 dy=[16x3]x=0x=3=16×27=432\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}

(e) 이번에는

∫03∫02f(x,y) dx dy=∫03[∫0212x2y3 dx]dy=∫03[4x3y3]02dy=∫0332y3dy=[8y4]03=8×81=648\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The integral with respect to xx treats yy as a constant. So

∫03f(x,y) dx=∫0312x2y3 dx=[4x3y3]x=0x=3=108y3\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}

(b) The integral with respect to yy treats xx as a constant. So

∫02f(x,y) dy=∫0212x2y3 dy=[3x2y4]y=0y=2=48x2\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}

(c) By part (a)

∫02∫03f(x,y) dx dy=∫02[∫03f(x,y) dx]dy=∫02108y3 dy=[27y4]y=0y=2=27×16=432\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}

(d) By part (b)

∫03∫02f(x,y) dy dx=∫03[∫02f(x,y) dy]dx=∫0348x2 dy=[16x3]x=0x=3=16×27=432\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}

(e) This time

∫03∫02f(x,y) dx dy=∫03[∫0212x2y3 dx]dy=∫03[4x3y3]02dy=∫0332y3dy=[8y4]03=8×81=648\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 13.2절 · 4번우리말 번역

∬Rf(x,y) dA=∬Rg(x,y) dA\iint_R f(x,y)\ dA = \iint_R g(x,y)\ dA 이면 f(x,y)=g(x,y)f(x,y) = g(x,y) 라는 뜻인가요?

다 풀었으면 정답 확인

아니요. 이것은 RR 위에서 ff 아래와 gg 아래의 부호 있는 부피가 같다는 뜻일 뿐이며, 두 함수는 매우 다를 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기
# 일반 영역의 이중적분계산기본자동 분류

「일반 영역의 이중적분」 문제 목록으로