다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — CLP-3 · 3.3절 · 1번

CLP-3 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 각각에 대하여 주어진 이중적분의 값을 반복적분을 사용하지 않고 구하세요. 대신 예를 들어 넓이나 평균값의 관점에서 적분을 해석하세요.

(a) $\iint _D(x+3)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , 여기서 $D$ 는 반원판 $0\le y\le \sqrt{4-x^2}$ 입니다. (b) $\iint _R (x+y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$ 입니다.

영어 원문 보기

For each of the following, evaluate the given double integral without using iteration. Instead, interpret the integral in terms of, for example, areas or average values.

(a) $\iint _D(x+3)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , where $D$ is the half disc $0\le y\le \sqrt{4-x^2}$ (b) $\iint _R (x+y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ where $R$ is the rectangle $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$

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(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $x$ 는 $x\rightarrow-x$ 에 대해, 즉 $y$ 축에 대한 대칭이동에 대해 기함수이고 적분 영역은 $y$ 축에 대해 대칭이므로 $\iint _D x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=0$ 이다. $\iint _D 3\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 반지름이 $2$ 인 반원판 넓이의 3배이다. 따라서 $\iint _D(x+3)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\times \tfrac{1}{2}\times\pi 2^2=6\pi$ .

(s) $\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 에서 $x$ 의 평균값이며, 그 값은 $\frac{a}{2}$ 이다. 마찬가지로 $\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 에서 $y$ 의 평균값이며, 그 값은 $\frac{b}{2}$ 이다. $\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 의 넓이이며, 그 값은 $ab$ 이다. 따라서

$\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} ab$ 이고
$\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} ab$

이며 $\iint _R (x+y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\tfrac{1}{2} ab (a+b)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\iint _D x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=0$ because $x$ is odd under $x\rightarrow-x$ , i.e. under reflection about the $y$ –axis, while the domain of integration is symmetric about the $y$ –axis. $\iint _D 3\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the three times the area of a half disc of radius $2$ . So, $\iint _D(x+3)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\times \tfrac{1}{2}\times\pi 2^2=6\pi$ .

(s) $\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the average value of $x$ in the rectangle $R$ , namely $\frac{a}{2}$ . Similarly, $\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the average value of $y$ in the rectangle $R$ , namely $\frac{b}{2}$ . $\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is area of the rectangle $R$ , namely $ab$ . So,

$\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} ab$ and
$\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} ab$

and $\iint _R (x+y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\tfrac{1}{2} ab (a+b)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.6절 · 5번우리말 번역

$R$ 은 직선 $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2},y=0,y=2$ 와 $x=0$ 으로 결정되는 사다리꼴 모양의 영역이다. $\rho (x,y)=3xy.$

x축, y축, 직선 y = 2, 직선 y = -x/4 + 2.5 로 둘러싸인 사다리꼴.

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