다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — CLP-3 · 3.3절 · 6번

CLP-3 · 3.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$R$ 을 꼭짓점이 $(0, 2)$ , $(1, 0)$ , $(2, 0)$ 인 삼각형이라 하세요. $R$ 의 밀도가 $\rho(x, y) = y^2$ 이라 하세요. $R$ 의 질량중심의 $y$ 좌표 $\bar y$ 를 구하세요. $\bar x$ 는 구하지 않아도 됩니다.

영어 원문 보기

Let $R$ be the triangle with vertices $(0, 2)$ , $(1, 0)$ , and $(2, 0)$ . Let $R$ have density $\rho(x, y) = y^2$ . Find $\bar y$ , the $y$ –coordinate of the center of mass of $R$ . You do not need to find $\bar x$ .

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다음은 $R$ 의 그림이다.

다음에 주목하자.

$(2,0)$ 과 $(0,2)$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=2-x$ , 즉 $x=2-y$ 이다. (확인: 두 점 $(2,0)$ 과 $(0,2)$ 는 모두 $x=2-y$ 위에 있다.)
$(1,0)$ 과 $(0,2)$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=2-2x$ , 즉 $x=\frac{2-y}{2}$ 이다. (확인: 두 점 $(0,2)$ 와 $(1,0)$ 은 모두 $x=\frac{2-y}{2}$ 위에 있다.)

정의에 의해 $R$ 의 질량중심의 $y$ 좌표는 $R$ 위에서 $y$ 의 가중평균이므로 다음과 같다.

$\bar y =\frac{\iint _R y\,\rho(x,y)\,\mathrm{d}A}{\iint _R \rho(x,y)\,\mathrm{d}A} =\frac{\iint _R y^3\,\mathrm{d}A}{\iint _R y^2\,\mathrm{d}A}$

$R$ 위에서

$y$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변한다. 즉, $0\le y\le 2$ 이다.
이 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $\frac{2-y}{2}$ 부터 $2-y$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $\frac{2-y}{2}\le x\le 2-y$ 이다.

따라서

$R = \left\{\ (x,y)\ \left|\ 0\le y\le 2,\ \frac{2-y}{2}\le x\le 2-y \right.\right\}$

$n=2$ 와 $n=3$ 모두에 대해 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \iint _R y^n\,\mathrm{d}A &=\int_0^2\mathrm{d}y \int_{\frac{2-y}{2}}^{2-y}\mathrm{d}x\ y^n \\ &=\int_0^2\mathrm{d}y \ y^n\frac{2-y}{2} \\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{2y^{n+1}}{n+1}-\frac{y^{n+2}}{n+2}\right]_0^2 \\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{2^{n+2}}{n+1}-\frac{2^{n+2}}{n+2}\right] \\ &=\frac{2^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \end{aligned}$

그러므로

$\begin{aligned} \bar y =\frac{\iint _R y^3\,\mathrm{d}A}{\iint _R y^2\,\mathrm{d}A} =\frac{ \frac{2^4}{(4)(5)} }{ \frac{2^{3}}{(3)(4)} } =\frac{6}{5} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $R$ .

Note that

the equation of the straight line through $(2,0)$ and $(0,2)$ is $y=2-x$ , or $x=2-y$ . (As a check note that both points $(2,0)$ and $(0,2)$ are on $x=2-y$ .
The equation of the straight line through $(1,0)$ and $(0,2)$ is $y=2-2x$ , or $x=\frac{2-y}{2}$ . (As a check note that both points $(0,2)$ and $(1,0)$ are on $x=\frac{2-y}{2}$ .

By definition, the $y$ –coordinate of the center of mass of $R$ is the weighted average of $y$ over $R$ , which is

$\bar y =\frac{\iint _R y\,\rho(x,y)\,\mathrm{d}A}{\iint _R \rho(x,y)\,\mathrm{d}A} =\frac{\iint _R y^3\,\mathrm{d}A}{\iint _R y^2\,\mathrm{d}A}$

On $R$ ,

$y$ runs from $0$ to $2$ . That is, $0\le y\le 2$ .
For each fixed $y$ in that range, $x$ runs from $\frac{2-y}{2}$ to $2-y$ . In inequalities, that is $\frac{2-y}{2}\le x\le 2-y$ .

Thus

$R = \left\{\ (x,y)\ \left|\ 0\le y\le 2,\ \frac{2-y}{2}\le x\le 2-y \right.\right\}$

For both $n=2$ and $n=3$ , we have

$\begin{aligned} \bar y =\frac{\iint _R y^3\,\mathrm{d}A}{\iint _R y^2\,\mathrm{d}A} =\frac{ \frac{2^4}{(4)(5)} }{ \frac{2^{3}}{(3)(4)} } =\frac{6}{5} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.3절 · 7번우리말 번역

평면 영역 $D$ 안의 점에서 점 $(a, b)$ 까지의 평균 거리는 다음과 같이 정의된다.

$\frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

여기서 $A(D)$ 는 평면 영역 $D$ 의 넓이이다. $D$ 를 단위원판 $1 \ge x^2 + y^2$ 이라 하자. $D$ 안의 점에서 $D$ 의 중심까지의 평균 거리를 구하세요.

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문제에서 주어진 정의에 $(a,b)=(0,0)$ 을 대입하면 평균은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

분모 $A(D) = \pi$ 이다. 분자는 극좌표를 이용하여 계산한다.

$\begin{aligned} \iint _D \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}r \ r\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} \\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}r\ r^2 =\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{1}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$

따라서 평균은 다음과 같다.

$\frac{\frac{2\pi}{3}}{\pi}=\frac{2}{3}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산보통자동 분류