다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제 — CLP-3 · 3.3절 · 7번

CLP-3 · 3.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

평면 영역 $D$ 안의 점에서 점 $(a, b)$ 까지의 평균 거리는 다음과 같이 정의된다.

$\frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

여기서 $A(D)$ 는 평면 영역 $D$ 의 넓이이다. $D$ 를 단위원판 $1 \ge x^2 + y^2$ 이라 하자. $D$ 안의 점에서 $D$ 의 중심까지의 평균 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

The average distance of a point in a plane region $D$ to a point $(a, b)$ is defined by

$\frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

where $A(D)$ is the area of the plane region $D$ . Let $D$ be the unit disk $1 \ge x^2 + y^2$ . Find the average distance of a point in $D$ to the center of $D$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

문제에서 주어진 정의에 $(a,b)=(0,0)$ 을 대입하면 평균은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

분모 $A(D) = \pi$ 이다. 분자는 극좌표를 이용하여 계산한다.

$\begin{aligned} \iint _D \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}r \ r\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} \\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}r\ r^2 =\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \frac{1}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$

따라서 평균은 다음과 같다.

$\frac{\frac{2\pi}{3}}{\pi}=\frac{2}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

By the definition given in the statement with $(a,b)=(0,0)$ , the average is

$\begin{aligned} \frac{1}{A(D)}\iint _D \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

The denominator $A(D) = \pi$ . We'll use polar coordinates to evaluate the numerator.

So the average is

$\frac{\frac{2\pi}{3}}{\pi}=\frac{2}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.3절 · 5번우리말 번역

균일한 밀도 $k$ 를 갖는 얇은 판이 양의 $x$ 축, 양의 $y$ 축과 원 $x^2 + y^2 = 1$ 로 둘러싸여 있다. 이 판의 질량 중심을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 판을 $P$ 라 하자. 정의에 따라 질량 중심은 $(\bar x, \bar y)$ 이고, $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 각각 $P$ 위에서 $x$ 좌표와 $y$ 좌표의 가중평균이다. 즉,

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _P x\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _P \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \qquad \bar y = \frac{\iint _P y\ \rho(x,y)\ \mathrm{d}A}{\iint _P \rho(x,y)\ \mathrm{d}A} \end{aligned}$

이고 $\rho(x,y)=k$ 이다. 다음은 $P$ 의 그림이다.

직선 $y=x$ 에 대한 대칭이동에 의해 대칭이므로 $\bar y=\bar x$ 이다. 따라서 다음만 구하면 된다.

$\bar x = \frac{\iint _P x\ \mathrm{d}A}{\iint _P \mathrm{d}A}$

분모는 반지름이 $1$ 인 원판 넓이의 4분의 1이다. 즉, $\iint _P \mathrm{d}A=\frac{\pi}{4}$ 이다. 분자는 위 그림과 같이 극좌표를 이용하여 계산한다. 그림을 보면 다음과 같다.

$\theta$ 는 $0$ 부터 $\frac{\pi}{2}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 부터 $1$ 까지 변한다.

$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이고 $x=r\cos\theta$ 이므로 분자는

$\begin{aligned} \iint _P x\ \mathrm{d}A &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_0^1\mathrm{d}r\ r\overbrace{r\cos\theta}^{x} =\left[\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\right] \left[ \int_0^1\mathrm{d}r\ r^2\right] \\ &=\Big[\sin\theta\Big]_0^{\pi/2} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{3} \end{aligned}$

이다. 종합하면

$\begin{aligned} \bar x = \bar y = \frac{1/3}{\pi/4} =\frac{4}{3\pi} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)활용보통자동 분류