삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 1번

CLP-3 · 3.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

$\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}$

반복적분을 사용하지 말고, 대신 이 적분을 기하학적으로 해석하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral

$\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ where $R$ is the rectangle $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}$

without using iteration. Instead, interpret the integral geometrically.

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정답·풀이 보기

$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ 이고, 여기서

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

이다.

이제 $y^2+z^2\le b^2$ 은 $x$ 축을 중심축으로 하는 반지름 $b$ 인 원기둥이고, $y^2+z^2\le b^2$ 중에서 $y\ge0,\ z\ge0$ 인 부분은 이 원기둥의 4분의 1이다. 이 부분의 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. $V$ 는 이 4분의 1 원기둥 중에서 $0\le x\le a$ 인 부분이다. 길이는 $a$ 이고 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. 따라서 $\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ , where

Now $y^2+z^2\le b^2$ is a cylinder of radius $b$ centered on the $x$ –axis and the part of $y^2+z^2\le b^2$ , with $y\ge0,\ z\ge0$ is one quarter of this cylinder. It has cross–sectional area $\frac{1}{4}\pi b^2$ . $V$ is the part of this quarter–cylinder with $0\le x\le a$ . It has length $a$ and cross–sectional area $\frac{1}{4}\pi b^2$ . So, $\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 15번우리말 번역

(a) 방정식 $z = 1 - x^2$ 으로 주어진 곡면의 개형을 그리세요. (b) $E$ 를 평면 $y = 0$ , 기둥면 $z = 1 - x^2$ , 평면 $y = z$ 로 둘러싸인 입체라 하자. 적분

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

을 반복적분으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $z=1-x^2$ 의 $y$ 가 상수인 각 단면은 뒤집힌 포물선이다. 따라서 이 곡면은 뒤집힌 포물선을 나란히 쌓아 놓은 모양이다. 아래 왼쪽 그림은 이 곡면 중 $y\ge 0$ 이고 $z\ge 0$ 인 부분의 개형이다(두 조건은 모두 (b)에서 필요하다).

(b) 위 오른쪽 그림은 평면 $y=z$ 의 개형이다. 이 평면은 곡면 $z=1-x^2$ 과 만나며, 그 교선은 아래 그림에서 파란 실선으로 그려진 비스듬한 포물선 모양의 곡선이다.

곡선 $z=1-x^2$ , $z=y$ 위에서는 $y=1-x^2$ 임에 주목하자. 그러므로 입체 $E$ 를 $z$ 축 위쪽 높은 곳에서 내려다보면 다음 영역이 보인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1-x^2\ \big\}$

이 영역의 경계 $y=1-x^2$ 은 위 그림에서 $xy$ 평면 위의 파란 점선이다. 따라서

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x^2,\ y\le z\le 1-x^2\ \big\}$

이고 적분은 다음과 같다.

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\int_y^{1-x^2}\mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산기본자동 분류