삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 15번

CLP-3 · 3.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

(a) 방정식 $z = 1 - x^2$ 으로 주어진 곡면의 개형을 그리세요. (b) $E$ 를 평면 $y = 0$ , 기둥면 $z = 1 - x^2$ , 평면 $y = z$ 로 둘러싸인 입체라 하자. 적분

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

을 반복적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

(a) Sketch the surface given by the equation $z = 1 - x^2$ . (b) Let $E$ be the solid bounded by the plane $y = 0$ , the cylinder $z = 1 - x^2$ , and the plane $y = z$ . Set up the integral

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

as an iterated integral.

정답·풀이 보기

(a) $z=1-x^2$ 의 $y$ 가 상수인 각 단면은 뒤집힌 포물선이다. 따라서 이 곡면은 뒤집힌 포물선을 나란히 쌓아 놓은 모양이다. 아래 왼쪽 그림은 이 곡면 중 $y\ge 0$ 이고 $z\ge 0$ 인 부분의 개형이다(두 조건은 모두 (b)에서 필요하다).

(b) 위 오른쪽 그림은 평면 $y=z$ 의 개형이다. 이 평면은 곡면 $z=1-x^2$ 과 만나며, 그 교선은 아래 그림에서 파란 실선으로 그려진 비스듬한 포물선 모양의 곡선이다.

곡선 $z=1-x^2$ , $z=y$ 위에서는 $y=1-x^2$ 임에 주목하자. 그러므로 입체 $E$ 를 $z$ 축 위쪽 높은 곳에서 내려다보면 다음 영역이 보인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1-x^2\ \big\}$

이 영역의 경계 $y=1-x^2$ 은 위 그림에서 $xy$ 평면 위의 파란 점선이다. 따라서

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x^2,\ y\le z\le 1-x^2\ \big\}$

이고 적분은 다음과 같다.

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\int_y^{1-x^2}\mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Each constant $y$ cross section of $z=1-x^2$ is an upside down parabola. So the surface is a bunch of upside down parabolas stacked side by side. The figure on the left below is a sketch of the part of the surface with $y\ge 0$ and $z\ge 0$ (both of which conditions will be required in part (b)).

(b) The figure on the right above is a sketch of the plane $y=z$ . It intersects the surface $z=1-x^2$ in the solid blue sloped parabolic curve in the figure below.

Observe that, on the curve $z=1-x^2$ , $z=y$ , we have $y=1-x^2$ . So that when one looks at the solid $E$ from high on the $z$ –axis, one sees

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1-x^2\ \big\}$

The $y=1-x^2$ boundary of that region is the dashed blue line in the $xy$ –plane in the figure above. So

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x^2,\ y\le z\le 1-x^2\ \big\}$

and the integral

$\iiint _E f(x,y,z)\,\mathrm{d}V =\int_{-1}^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\int_y^{1-x^2}\mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 2번우리말 번역

밀도함수 $h(x, y, z) = x$ 를 갖는 직육면체 상자 $[0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ (즉, 부등식 $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ , $0 \le z \le 3$ 으로 정의되는 상자)의 전체 질량을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

질량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분그래프·표 해석보통자동 분류