삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 2번

CLP-3 · 3.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

밀도함수 $h(x, y, z) = x$ 를 갖는 직육면체 상자 $[0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ (즉, 부등식 $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ , $0 \le z \le 3$ 으로 정의되는 상자)의 전체 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total mass of the rectangular box $[0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ (that is, the box defined by the inequalities $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ , $0 \le z \le 3$ ), with density function $h(x, y, z) = x$ .

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질량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The mass is

$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 14번우리말 번역

직사각형 상자

$R=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ 0\le z\le 3\ \big\}$

에 대하여 $\iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

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적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _R yz^2 e^{-xyz}\ \mathrm{d}V &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\int_0^1\mathrm{d}x\ yz^2 e^{-xyz} \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[-z e^{-xyz}\Big]_{x=0}^{x=1} =\int_0^3\mathrm{d}z\int_0^2\mathrm{d}y\ \Big[z-z e^{-yz}\Big] \\ &=\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[zy+ e^{-yz}\Big]_{y=0}^{y=2} =\int_0^3\mathrm{d}z\ \Big[2z+ e^{-2z}-1\Big] \\ &=\left[z^2-\frac{1}{2} e^{-2z}-z\right]_0^3 =\frac{13}{2}-\frac{e^{-6}}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산기본자동 분류