삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 4번

CLP-3 · 3.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

$R$ 이 정육면체 $0\le x,y,z\le 1$ 중 평면 $y+z=1$ 위쪽이고 평면 $x+y+z=2$ 아래쪽에 있는 부분일 때, $\displaystyle \iiint _R y\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \iiint _R y\ \mathrm{d}V$ where $R$ is the portion of the cube $0\le x,y,z\le 1$ lying above the plane $y+z=1$ and below the plane $x+y+z=2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

적분 영역은 다음과 같다.

$R = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x,y,z\le 1,\ z\ge 1-y,\ z\le2-x-y\ \big\}$

아래 그림에서 더 진하게 칠한 부분은 $z=1-y$ 의 일부이고, 더 연하게 칠한 부분은 $z=2-x-y$ 의 일부이다.

$R$ 에서 $z$ 는 $0$ (예를 들어 $(0,1,0)$ 은 $R$ 에 속한다)에서 $1$ (예를 들어 $(0,0,1)$ 은 $R$ 에 속한다)까지 변한다.
$0\le z\le 1$ 인 각각의 고정된 $z$ 에 대해, $(x,y)$ 는 다음 영역 위를 움직인다.

$D_z = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x,y\le 1,\ y\ge 1-z,\ x+y\le2-z\ \big\}$

다음은 $D_z$ 를 위에서 본 모양의 개략도이다.

$D_z$ 에서 $y$ 는 $1-z$ 에서 $1$ 까지 변한다.

$0\le z\le 1$ 과 $1-z\le y\le 1$ 인 각각의 고정된 $z$ , $y$ 에 대해, $x$ 는 $0$ 에서 $2-y-z$ 까지 변한다.

따라서 주어진 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _R y\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}z\iint _{D_z} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y-z} \mathrm{d}x\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\ y(2-y-z)\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}z\int_z^0 du\ (1-u)(1+u-z)\qquad\text{ 여기서 $u=1-y$}\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\int_0^z du\ (1-u^2-z+uz) =\int_0^1 \mathrm{d}z\ \big(z-\frac{z^3}{3}-z^2+\frac{z^3}{2})\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8} =\frac{5}{24} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The domain of integration is

$R = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x,y,z\le 1,\ z\ge 1-y,\ z\le2-x-y\ \big\}$

In the figure on the below, the more darkly shaded region is part of $z=1-y$ and the more lightly shaded region is part of $z=2-x-y$ .

In $R$ , $z$ runs from $0$ (for example $(0,1,0)$ is in $R$ ) to $1$ (for example $(0,0,1)$ is in $R$ ).
For each fixed $0\le z\le 1$ , $(x,y)$ runs over

$D_z = \big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x,y\le 1,\ y\ge 1-z,\ x+y\le2-z\ \big\}$

Here is a sketch of a top view of $D_z$ .

On $D_z$ , $y$ runs from $1-z$ to $1$ .

For each fixed $0\le z\le 1$ and $1-z\le y\le 1$ , $x$ runs from $0$ to $2-y-z$ .

So the specified integral is

$\begin{aligned} \iiint _R y\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}z\iint _{D_z} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y-z} \mathrm{d}x\ y =\int_0^1 \mathrm{d}z\int_{1-z}^1 \mathrm{d}y\ y(2-y-z)\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}z\int_z^0 du\ (1-u)(1+u-z)\qquad\text{ where $u=1-y$}\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}z\int_0^z du\ (1-u^2-z+uz) =\int_0^1 \mathrm{d}z\ \big(z-\frac{z^3}{3}-z^2+\frac{z^3}{2})\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8} =\frac{5}{24} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 5번우리말 번역

다음 각각에 대하여, 주어진 반복적분을 먼저 $z$ , 다음에 $y$ , 그다음에 $x$ 의 순서로 적분하는 반복적분으로 나타내세요.

(a) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{1-z}\mathrm{d}y\int_0^{1-z} \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$ (b) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_{\sqrt z}^1\mathrm{d}y\int_0^y \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 적분 영역은

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ 0\le y\le 1-z,\ 0\le x\le 1-z\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ x+z\le 1,\ y+z\le 1 \ \big\} \end{aligned}$

이다. 이를 아래 그림에 나타내었다. 앞면은 $x+z=1$ 이고 연하게 칠한 오른쪽 면은 $y+z=1$ 이다.

$V$ 에서

$x$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 모든 값을 갖는다.
$0\le x\le 1$ 인 각각의 고정된 $x$ 에 대하여, $(y,z)$ 는 다음 영역의 모든 값을 갖는다.

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ y,z\ge 0,\ z\le 1-x,\ y+z\le 1\ \big\}$

다음은 $D_x$ 의 그림이다.

위의 그림을 보면, $D_x$ 에서 $y$ 는 $0$ 부터 $1$ 까지 변하고
$0$ 과 $x$ 사이의 각각의 고정된 $y$ 에 대하여 $z$ 는 $0$ 부터 $1-x$ 까지 변하며
$x$ 와 $1$ 사이의 각각의 고정된 $y$ 에 대하여 $z$ 는 $0$ 부터 $1-y$ 까지 변한다

따라서 새로운 순서로 나타낸 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _V f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &= \int_0^1\mathrm{d}x\iint _{D_x} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{x}\mathrm{d}y\int_0^{1-x} \mathrm{d}z f(x,y,z) +\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{1}\mathrm{d}y\int_0^{1-y} \mathrm{d}z f(x,y,z) \end{aligned}$

(b) 적분 영역은

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ \sqrt{z}\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ 0\le x\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}$

이다. 이 영역에서 $x$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 모든 값을 갖는다. $0$ 과 $1$ 사이의 각각의 고정된 $x$ 에 대하여, $(y,z)$ 는 다음 영역의 모든 값을 갖는다.

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ x\le y\le 1\ \big\}$

다음은 $D_x$ 의 그림이다.

새로운 순서로 나타낸 적분은 다음과 같다.

$\int_0^1\mathrm{d}x\iint _{D_x} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\ f(x,y,z) =\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{1}\mathrm{d}y\int_0^{y^2}\!\! \mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류