삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 5번

CLP-3 · 3.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 각각에 대하여, 주어진 반복적분을 먼저 $z$ , 다음에 $y$ , 그다음에 $x$ 의 순서로 적분하는 반복적분으로 나타내세요.

(a) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{1-z}\mathrm{d}y\int_0^{1-z} \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$ (b) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_{\sqrt z}^1\mathrm{d}y\int_0^y \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$

영어 원문 보기

For each of the following, express the given iterated integral as an iterated integral in which the integrations are performed in the order: first $z$ , then $y$ , then $x$ .

(a) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_0^{1-z}\mathrm{d}y\int_0^{1-z} \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$ (b) $\displaystyle \int_0^1\mathrm{d}z\int_{\sqrt z}^1\mathrm{d}y\int_0^y \mathrm{d}x\ f(x,y,z)$

정답·풀이 보기

(a) 적분 영역은

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ 0\le y\le 1-z,\ 0\le x\le 1-z\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ x+z\le 1,\ y+z\le 1 \ \big\} \end{aligned}$

이다. 이를 아래 그림에 나타내었다. 앞면은 $x+z=1$ 이고 연하게 칠한 오른쪽 면은 $y+z=1$ 이다.

$V$ 에서

$x$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 모든 값을 갖는다.
$0\le x\le 1$ 인 각각의 고정된 $x$ 에 대하여, $(y,z)$ 는 다음 영역의 모든 값을 갖는다.

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ y,z\ge 0,\ z\le 1-x,\ y+z\le 1\ \big\}$

다음은 $D_x$ 의 그림이다.

위의 그림을 보면, $D_x$ 에서 $y$ 는 $0$ 부터 $1$ 까지 변하고
$0$ 과 $x$ 사이의 각각의 고정된 $y$ 에 대하여 $z$ 는 $0$ 부터 $1-x$ 까지 변하며
$x$ 와 $1$ 사이의 각각의 고정된 $y$ 에 대하여 $z$ 는 $0$ 부터 $1-y$ 까지 변한다

따라서 새로운 순서로 나타낸 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iiint _V f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &= \int_0^1\mathrm{d}x\iint _{D_x} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &= \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{x}\mathrm{d}y\int_0^{1-x} \mathrm{d}z f(x,y,z) +\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{1}\mathrm{d}y\int_0^{1-y} \mathrm{d}z f(x,y,z) \end{aligned}$

(b) 적분 영역은

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ \sqrt{z}\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ 0\le x\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}$

이다. 이 영역에서 $x$ 는 $0$ 과 $1$ 사이의 모든 값을 갖는다. $0$ 과 $1$ 사이의 각각의 고정된 $x$ 에 대하여, $(y,z)$ 는 다음 영역의 모든 값을 갖는다.

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ x\le y\le 1\ \big\}$

다음은 $D_x$ 의 그림이다.

새로운 순서로 나타낸 적분은 다음과 같다.

$\int_0^1\mathrm{d}x\iint _{D_x} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\ f(x,y,z) =\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{1}\mathrm{d}y\int_0^{y^2}\!\! \mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The domain of integration is

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ 0\le y\le 1-z,\ 0\le x\le 1-z\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ x+z\le 1,\ y+z\le 1 \ \big\} \end{aligned}$

This is sketched in the figure below. The front face is $x+z=1$ and the lightly shaded right face is $y+z=1$ .

In $V$ ,

$x$ takes all values between $0$ and $1$ .
For each fixed $0\le x\le 1$ , $(y,z)$ takes all values in

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ y,z\ge 0,\ z\le 1-x,\ y+z\le 1\ \big\}$

Here is a sketch of $D_x$ .

Looking at the sketch above, we see that, on $D_x$ , $y$ runs from $0$ to $1$ and
for each fixed $y$ between $0$ and $x$ , $z$ runs from $0$ to $1-x$ and
for each fixed $y$ between $x$ and $1$ , $z$ runs from $0$ to $1-y$

So the integral is, in the new order,

(b) The domain of integration is

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 1,\ \sqrt{z}\le y\le 1,\ 0\le x\le y\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ 0\le x\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}$

In this region, $x$ takes all values between $0$ and $1$ . For each fixed $x$ between $0$ and $1$ , $(y,z)$ takes all values in

$D_x=\big\{ \ (y,z)\ \big|\ 0\le z\le y^2,\ x\le y\le 1\ \big\}$

Here is a sketch of $D_x$ .

In the new order, the integral is

$\int_0^1\mathrm{d}x\iint _{D_x} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\ f(x,y,z) =\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{1}\mathrm{d}y\int_0^{y^2}\!\! \mathrm{d}z\ f(x,y,z)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 6번우리말 번역

삼중적분 $\displaystyle \iiint _E f\ \mathrm{d}V$ 가 반복적분 꼴로

$\int_{y=-1}^{y=1} \int_{z=0}^{z=1-y^2} \int_{x=0}^{2-y-z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y$

와 같이 주어져 있습니다.

(a) $E$ 의 3차원 그림을 상당히 정확하게 그리세요. (b) 삼중적분 $\iiint _E f\ \mathrm{d}V$ 를 다음 순서의 하나 이상의 반복 삼중적분으로 다시 나타내세요.

$\int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 적분의 적분 영역에서

$y$ 는 $-1$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 까지 변하며,
위와 같이 고정된 각 $y$ 와 $z$ 에 대해 $x$ 는 $0$ 에서 $2-y-z$ 까지 변한다.

즉,

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x\le 2-y-z\ \big\}$

이다.

곡면 $z=1-y^2$ 의 $x$ 가 상수인 각 단면은 위로 볼록한 포물선이다. 따라서 곡면 $z=1-y^2$ 은 포물선 $z=1-y^2$ 을 앞에서 뒤로 여러 장 쌓아 놓은 모양이다. 아래 왼쪽 그림은 $z=1-y^2$ 의 개형을 보여 준다.
곡면 $x = 2-y-z$ , 즉 $x+y+z=2$ 는 평면이다. 이 평면은 세 점 $(2,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,0,2)$ 를 지난다. 아래 오른쪽 그림에 이 평면이 그려져 있다. 적분 영역이 $y=-1$ 까지 뻗어 있음을 알고 있으므로, 그림에는 평면 중 $x\ge 0$ , $y\ge-1$ , $z\ge 0$ 인 부분을 포함시켰다.

영역 $E$ 는 평면 $x+y+z=2$ 를 이용해 "터널" $0\le z\le 1-y^2$ 의 앞부분을 잘라 내어 만든 것이다. 아래 그림에서 빨간색으로 윤곽을 그려 놓았다.

(b) 바깥쪽 적분은 $y$ 에 대한 적분(주어진 적분과 같음), 가운데 적분은 $x$ 에 대한 적분, 안쪽 적분은 $z$ 에 대한 적분이 되도록 적분 순서를 바꾸어야 한다.

여전히 $y$ 는 $-1$ 에서 $1$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 다음 영역 위를 움직인다.

$E_y=\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x+z\le 2-y\ \big\}$

$E_y$ 에서 $x$ 의 최댓값은 $2-y$ 이며, $z=0$ 일 때 이 값을 갖는다. 아래 그림에서도 이를 확인할 수 있다. 그림에서 색칠한 영역이 $E_y$ 이다.
위와 같이 고정된 각 $x$ 와 $y$ 에 대해 $z$ 는 다음 범위를 움직인다.

$E_{x,y} = \big\{ \ z\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le z\le 2-x-y\ \big\}$

즉, $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 과 $2-x-y$ 중 작은 쪽까지 변한다. $1-y^2\le 2-x-y$ 일 필요충분조건은 $x\le 1+y^2-y$ 임에 주의한다.

따라서 $0\le x\le 1+y^2-y$ 이면 $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 까지 변하고, $1+y^2-y\le x\le 2-y$ 이면 $z$ 는 $0$ 에서 $2-x-y$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} &\int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=1+y^2-y} \int_{z=0}^{z=1-y^2} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ & +\int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=1+y^2-y}^{x=2-y} \int_{z=0}^{z=2-x-y} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류