삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 6번

CLP-3 · 3.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

삼중적분 $\displaystyle \iiint _E f\ \mathrm{d}V$ 가 반복적분 꼴로

$\int_{y=-1}^{y=1} \int_{z=0}^{z=1-y^2} \int_{x=0}^{2-y-z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y$

와 같이 주어져 있습니다.

(a) $E$ 의 3차원 그림을 상당히 정확하게 그리세요. (b) 삼중적분 $\iiint _E f\ \mathrm{d}V$ 를 다음 순서의 하나 이상의 반복 삼중적분으로 다시 나타내세요.

$\int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

A triple integral $\displaystyle \iiint _E f\ \mathrm{d}V$ is given in iterated form by

$\int_{y=-1}^{y=1} \int_{z=0}^{z=1-y^2} \int_{x=0}^{2-y-z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y$

(a) Draw a reasonably accurate picture of $E$ in 3–dimensions. (b) Rewrite the triple integral $\iiint _E f\ \mathrm{d}V$ as one or more iterated triple integrals in the order

$\int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) 주어진 적분의 적분 영역에서

$y$ 는 $-1$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 까지 변하며,
위와 같이 고정된 각 $y$ 와 $z$ 에 대해 $x$ 는 $0$ 에서 $2-y-z$ 까지 변한다.

즉,

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x\le 2-y-z\ \big\}$

이다.

곡면 $z=1-y^2$ 의 $x$ 가 상수인 각 단면은 위로 볼록한 포물선이다. 따라서 곡면 $z=1-y^2$ 은 포물선 $z=1-y^2$ 을 앞에서 뒤로 여러 장 쌓아 놓은 모양이다. 아래 왼쪽 그림은 $z=1-y^2$ 의 개형을 보여 준다.
곡면 $x = 2-y-z$ , 즉 $x+y+z=2$ 는 평면이다. 이 평면은 세 점 $(2,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,0,2)$ 를 지난다. 아래 오른쪽 그림에 이 평면이 그려져 있다. 적분 영역이 $y=-1$ 까지 뻗어 있음을 알고 있으므로, 그림에는 평면 중 $x\ge 0$ , $y\ge-1$ , $z\ge 0$ 인 부분을 포함시켰다.

영역 $E$ 는 평면 $x+y+z=2$ 를 이용해 "터널" $0\le z\le 1-y^2$ 의 앞부분을 잘라 내어 만든 것이다. 아래 그림에서 빨간색으로 윤곽을 그려 놓았다.

(b) 바깥쪽 적분은 $y$ 에 대한 적분(주어진 적분과 같음), 가운데 적분은 $x$ 에 대한 적분, 안쪽 적분은 $z$ 에 대한 적분이 되도록 적분 순서를 바꾸어야 한다.

여전히 $y$ 는 $-1$ 에서 $1$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 다음 영역 위를 움직인다.

$E_y=\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x+z\le 2-y\ \big\}$

$E_y$ 에서 $x$ 의 최댓값은 $2-y$ 이며, $z=0$ 일 때 이 값을 갖는다. 아래 그림에서도 이를 확인할 수 있다. 그림에서 색칠한 영역이 $E_y$ 이다.
위와 같이 고정된 각 $x$ 와 $y$ 에 대해 $z$ 는 다음 범위를 움직인다.

$E_{x,y} = \big\{ \ z\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le z\le 2-x-y\ \big\}$

즉, $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 과 $2-x-y$ 중 작은 쪽까지 변한다. $1-y^2\le 2-x-y$ 일 필요충분조건은 $x\le 1+y^2-y$ 임에 주의한다.

따라서 $0\le x\le 1+y^2-y$ 이면 $z$ 는 $0$ 에서 $1-y^2$ 까지 변하고, $1+y^2-y\le x\le 2-y$ 이면 $z$ 는 $0$ 에서 $2-x-y$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} &\int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=1+y^2-y} \int_{z=0}^{z=1-y^2} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ & +\int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=1+y^2-y}^{x=2-y} \int_{z=0}^{z=2-x-y} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the domain of integration for the given integral

$y$ runs from $-1$ to $1$ , and
for each fixed $y$ in that range $z$ runs from $0$ to $1-y^2$ , and
for each fixed $y$ and $z$ as above, $x$ runs from $0$ to $2-y-z$ .

That is,

$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x\le 2-y-z\ \big\}$

Each constant $x$ cross–section of the surface $z=1-y^2$ is an upside down parabola. So the surface $z=1-y^2$ consists of a bunch of copies of the parabola $z=1-y^2$ stacked front to back. The figure of the left below provides a sketch of $z=1-y^2$ .
The surface $x = 2-y-z$ , or equivalently, $x+y+z=2$ is a plane. It passes through the points $(2,0,0)$ , $(0,2,0)$ and $(0,0,2)$ . It is sketched in the figure on the right below. We know that our domain of integration extends to $y=-1$ , so we have chosen to include in the sketch the part of the plane in $x\ge 0$ , $y\ge-1$ , $z\ge 0$ .

The domain $E$ is constructed by using the plane $x+y+z=2$ to chop the front off of the “tunnel” $0\le z\le 1-y^2$ . It is outlined in red in the figure below.

(b) We are to change the order of integration so that the outside integral is over $y$ (the same as the given integral), the middle integral is over $x$ , and the inside integral is over over $z$ .

We still have $y$ running from $-1$ to $1$ .
For each fixed $y$ in that range, $(x,z)$ runs over

$E_y=\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le x+z\le 2-y\ \big\}$

The biggest value of $x$ in $E_y$ is $2-y$ . It is achieved when $z=0$ . You can also see this in the figure below. The shaded region in that figure is $E_y$ .
For each fixed $x$ and $y$ as above, $z$ runs over

$E_{x,y} = \big\{ \ z\ \big|\ 0\le z\le 1-y^2,\ 0\le z\le 2-x-y\ \big\}$

That is, $z$ runs from $0$ to the smaller of $1-y^2$ and $2-x-y$ . Note that $1-y^2\le 2-x-y$ if and only if $x\le 1+y^2-y$ .

So if $0\le x\le 1+y^2-y$ , $z$ runs from $0$ to $1-y^2$ and if $1+y^2-y\le x\le 2-y$ , $z$ runs from $0$ to $2-x-y$ .

So the integral is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 7번우리말 번역

삼중적분 $\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V$ 가 다음과 같은 반복적분 꼴로 주어져 있다.

$J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x$

(a) 3차원에서 정의역 $E$ 의 그림을 그리세요. (b) 이 적분을 다음 꼴의 하나 이상의 반복적분으로 다시 나타내세요.

$J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 적분 $J$ 에서

$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 0 에서 $1-\frac{x}{2}$ 까지 변하며,
위와 같은 각 고정된 $x$ 와 $z$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 에서 $4-2x-4z$ 까지 변한다.

따라서

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1-\tfrac{x}{2},\ 0 \le y\le 4-2x-4z\ \big\} \end{aligned}$

이다.

조건 $y\le 4-2x-4z$ 는 $z\le 1-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}$ 로 다시 쓸 수 있다. $y\ge 0$ 일 때 이로부터 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 가 성립하므로, $E$ 의 기술에서 조건 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 를 뺄 수 있다.

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0 \le y\le 4-2x-4z,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 알아보자. 평면 $2x+y+4z=4$ 는 $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축과 각각 $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ , $(0,0,1)$ 에서 만난다. 이 평면은 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다. 점들의 집합 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ y\le 4-2x-4z\ \big\}$ 은 굵은 선으로 윤곽이 그려져 있다.

따라서 이제 조건 $x\le 1$ 만 더하면 되는데, 이 조건은 사면체의 앞부분을 잘라낸다. 이것은 위 오른쪽 그림에 나타나 있다. 다음은 $E$ 를 깔끔하게 정리한 그림이다.

(b) 바깥쪽 적분은 $y$ 에 대해, 가운데 적분은 $x$ 에 대해, 안쪽 적분은 $z$ 에 대해 하도록 적분 순서를 바꾸어야 한다. 아래 그림을 보면

다음을 알 수 있다.

$y$ 는 $0$ 에서 $4$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 2x+4z\le 4-y,\ z\ge 0\ \big\}$

$0$ 과 $2$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 왼쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고, 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.
$2$ 와 $4$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 오른쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-y}{2}$ 까지 변하고 (평면 $2x+y+4z=4$ 와 $xy$ 평면의 교선은 $z=0$ , $2x+y=4$ 이다), 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} J = \int_{y=0}^{y=2} \int_{x=0}^{x=1} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{y=2}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\frac{4-y}{2}} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류