삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 7번

CLP-3 · 3.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

삼중적분 $\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V$ 가 다음과 같은 반복적분 꼴로 주어져 있다.

$J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x$

(a) 3차원에서 정의역 $E$ 의 그림을 그리세요. (b) 이 적분을 다음 꼴의 하나 이상의 반복적분으로 다시 나타내세요.

$J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

A triple integral $\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V$ is given in the iterated form

$J = \int_0^1 \int_0^{1-\frac{x}{2}} \int_0^{4-2x-4z} f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x$

(a) Sketch the domain $E$ in 3–dimensions. (b) Rewrite the integral as one or more iterated integrals in the form

$J = \int_{y=}^{y=} \int_{x=}^{x=} \int_{z=}^{z=} f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) 주어진 적분 $J$ 에서

$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 0 에서 $1-\frac{x}{2}$ 까지 변하며,
위와 같은 각 고정된 $x$ 와 $z$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 에서 $4-2x-4z$ 까지 변한다.

따라서

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1-\tfrac{x}{2},\ 0 \le y\le 4-2x-4z\ \big\} \end{aligned}$

이다.

조건 $y\le 4-2x-4z$ 는 $z\le 1-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}$ 로 다시 쓸 수 있다. $y\ge 0$ 일 때 이로부터 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 가 성립하므로, $E$ 의 기술에서 조건 $z\le 1-\frac{x}{2}$ 를 뺄 수 있다.

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0 \le y\le 4-2x-4z,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 알아보자. 평면 $2x+y+4z=4$ 는 $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축과 각각 $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ , $(0,0,1)$ 에서 만난다. 이 평면은 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다. 점들의 집합 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ y\le 4-2x-4z\ \big\}$ 은 굵은 선으로 윤곽이 그려져 있다.

따라서 이제 조건 $x\le 1$ 만 더하면 되는데, 이 조건은 사면체의 앞부분을 잘라낸다. 이것은 위 오른쪽 그림에 나타나 있다. 다음은 $E$ 를 깔끔하게 정리한 그림이다.

(b) 바깥쪽 적분은 $y$ 에 대해, 가운데 적분은 $x$ 에 대해, 안쪽 적분은 $z$ 에 대해 하도록 적분 순서를 바꾸어야 한다. 아래 그림을 보면

다음을 알 수 있다.

$y$ 는 $0$ 에서 $4$ 까지 변하고,
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 2x+4z\le 4-y,\ z\ge 0\ \big\}$

$0$ 과 $2$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 왼쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고, 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.
$2$ 와 $4$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 (위 그림에서 오른쪽 색칠된 부분)
$x$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-y}{2}$ 까지 변하고 (평면 $2x+y+4z=4$ 와 $xy$ 평면의 교선은 $z=0$ , $2x+y=4$ 이다), 그다음
그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\frac{4-2x-y}{4}$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$\begin{aligned} J = \int_{y=0}^{y=2} \int_{x=0}^{x=1} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z) \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y +\int_{y=2}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\frac{4-y}{2}} \int_{z=0}^{z=\frac{4-2x-y}{4}} \!\!\!\! f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the given integral $J$ ,

$x$ runs from $0$ to $1$ ,
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from 0 to $1-\frac{x}{2}$ , and
for each fixed $x$ and $z$ as above, $y$ runs from $0$ to $4-2x-4z$ .

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1-\tfrac{x}{2},\ 0 \le y\le 4-2x-4z\ \big\} \end{aligned}$

Notice that the condition $y\le 4-2x-4z$ can be rewritten as $z\le 1-\frac{x}{2} -\frac{y}{4}$ . When $y\ge 0$ , this implies that $z\le 1-\frac{x}{2}$ , so that we can drop the condition $z\le 1-\frac{x}{2}$ from our description of $E$ :

$\begin{aligned} E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0 \le y\le 4-2x-4z,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

First, we figure out what $E$ looks like. The plane $2x+y+4z=4$ intersects the $x$ –, $y$ – and $z$ –axes at $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ and $(0,0,1)$ , respectively. That plane is shown in the sketch on the left below. The set of points $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x,y,z\ge 0,\ y\le 4-2x-4z\ \big\}$ is outlined with heavy lines.

So it only remains to impose the condtion $x\le 1$ , which chops off the front bit of the tetrahedron. This is done in the sketch on the right above. Here is a cleaned up sketch of $E$ .

(b) We are to reorder the integration so that the outside integral is over $y$ , the middle integral is over $x$ , and the inside integral is over $z$ . Looking at the figure below,

we see that

$y$ runs from $0$ to $4$ , and
for each fixed $y$ in that range, $(x,z)$ runs over

$\big\{ \ (x,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 2x+4z\le 4-y,\ z\ge 0\ \big\}$

for each fixed $y$ between $0$ and $2$ (as in the left hand shaded bit in the figure above)
$x$ runs from $0$ to $1$ , and then
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from $0$ to $\frac{4-2x-y}{4}$ .
for each fixed $y$ between $2$ and $4$ (as in the right hand shaded bit in the figure above)
$x$ runs from $0$ to $\frac{4-y}{2}$ (the line of intersection of the plane $2x+y+4z=4$ and the $xy$ –plane is $z=0$ , $2x+y=4$ ), and then
for each fixed $x$ in that range, $z$ runs from $0$ to $\frac{4-2x-y}{4}$ .

So the integral

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 16번우리말 번역

다음과 같이 두자.

$J=\int_0^1 \int_0^x\int_0^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

$J$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 순서로 적분하는 적분으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

적분 $J$ 에서

$x$ 는 $0$ 부터 $1$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le x\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $x$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le y\le x$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $x$ 와 $y$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 부터 $y$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le z\le y$ 이다.

이 부등식들은 다음과 같이 하나로 합칠 수 있다.

$0\le z\le y\le x\le 1 \tag{$*$}$

적분 순서를 바꾸어 $z$ 에 대한 적분이 가장 바깥, $y$ 에 대한 적분이 가운데, $x$ 에 대한 적분이 가장 안쪽에 오도록 하려 한다.

$(*)$ 를 만족하는 가장 작은 $z$ 는 $z=0$ 이고 $(*)$ 를 만족하는 가장 큰 $z$ 는 $z=1$ 이다( $x=y=z=1$ 일 때). 따라서 $0\le z\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 $z\le y\le x\le 1$ 범위를 움직인다. 특히 허용되는 가장 작은 $y$ 는 $y=z$ 이고 허용되는 가장 큰 $y$ 는 $y=1$ 이다( $x=y=1$ 일 때). 따라서 $z\le y\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $y$ 와 $z$ 에 대해 $x$ 는 $y\le x\le 1$ 범위를 움직인다.

따라서

$J = \int_0^1 \int_z^1\int_y^1 f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분그래프·표 해석보통자동 분류