삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 16번

CLP-3 · 3.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$J=\int_0^1 \int_0^x\int_0^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

$J$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 순서로 적분하는 적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let

$J=\int_0^1 \int_0^x\int_0^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

Express $J$ as an integral where the integrations are to be performed in the order $x$ first, then $y$ , then $z$ .

정답·풀이 보기

적분 $J$ 에서

$x$ 는 $0$ 부터 $1$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le x\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $x$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le y\le x$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $x$ 와 $y$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 부터 $y$ 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 $0\le z\le y$ 이다.

이 부등식들은 다음과 같이 하나로 합칠 수 있다.

$0\le z\le y\le x\le 1 \tag{$*$}$

적분 순서를 바꾸어 $z$ 에 대한 적분이 가장 바깥, $y$ 에 대한 적분이 가운데, $x$ 에 대한 적분이 가장 안쪽에 오도록 하려 한다.

$(*)$ 를 만족하는 가장 작은 $z$ 는 $z=0$ 이고 $(*)$ 를 만족하는 가장 큰 $z$ 는 $z=1$ 이다( $x=y=z=1$ 일 때). 따라서 $0\le z\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 $z\le y\le x\le 1$ 범위를 움직인다. 특히 허용되는 가장 작은 $y$ 는 $y=z$ 이고 허용되는 가장 큰 $y$ 는 $y=1$ 이다( $x=y=1$ 일 때). 따라서 $z\le y\le 1$ 이다.
다음으로, 그 범위의 각 고정된 $y$ 와 $z$ 에 대해 $x$ 는 $y\le x\le 1$ 범위를 움직인다.

따라서

$J = \int_0^1 \int_z^1\int_y^1 f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the integral $J$ ,

$x$ runs from $0$ to $1$ . In inequalities, $0\le x\le 1$ .
Then, for each fixed $x$ in that range, $y$ runs from $0$ to $x$ . In inequalities, $0\le y\le x$ .
Then, for each fixed $x$ and $y$ in those ranges, $z$ runs from $0$ to $y$ . In inequalities, $0\le z\le y$ .

These inequalties can be combined into

$0\le z\le y\le x\le 1 \tag{$*$}$

We wish to reverse the order of integration so that the $z$ –integral is on the outside, the $y$ –integral is in the middle and the $x$ –integral is on the inside.

The smallest $z$ compatible with $(*)$ is $z=0$ and the largest $z$ compatible with $(*)$ is $z=1$ (when $x=y=z=1$ ). So $0\le z\le 1$ .
Then, for each fixed $z$ in that range, $(x,y)$ run over $z\le y\le x\le 1$ . In particular, the smallest allowed $y$ is $y=z$ and the largest allowed $y$ is $y=1$ (when $x=y=1$ ). So $z\le y\le 1$ .
Then, for each fixed $y$ and $z$ in those ranges, $x$ runs over $y\le x\le 1$ .

$J = \int_0^1 \int_z^1\int_y^1 f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 1번우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

$\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}$

반복적분을 사용하지 말고, 대신 이 적분을 기하학적으로 해석하세요.

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$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ 이고, 여기서

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

이다.

이제 $y^2+z^2\le b^2$ 은 $x$ 축을 중심축으로 하는 반지름 $b$ 인 원기둥이고, $y^2+z^2\le b^2$ 중에서 $y\ge0,\ z\ge0$ 인 부분은 이 원기둥의 4분의 1이다. 이 부분의 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. $V$ 는 이 4분의 1 원기둥 중에서 $0\le x\le a$ 인 부분이다. 길이는 $a$ 이고 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. 따라서 $\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류