삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 11번

CLP-3 · 3.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

$E$ 를 제1팔분공간에서 평면 $z = x + y$ 의 위쪽이면서 평면 $z = 2$ 의 아래쪽에 있는 부분이라 하자. $E$ 안에서의 밀도는 $\rho(x, y, z) = z$ 이다. $E$ 의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $E$ be the portion of the first octant which is above the plane $z = x + y$ and below the plane $z = 2$ . The density in $E$ is $\rho(x, y, z) = z$ . Find the mass of $E$ .

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평면 $z = x + y$ 와 $z = 2$ 는 직선 $x+y=2$ , $z=2$ 를 따라 만난다는 점에 주목한다.

따라서

$\begin{aligned} E &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 2,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2-x,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \end{aligned}$

이고 $E$ 의 질량은

$\begin{aligned} \iiint _E \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V &=\int_0^2\mathrm{d}x \int_0^{2-x}\mathrm{d}y \int_{x+y}^2\mathrm{d}z\ z \\ &=\frac{1}{2}\int_0^2\mathrm{d}x \int_0^{2-x}\mathrm{d}y \ \big[4-(x+y)^2\big] \\ &=\frac{1}{2}\int_0^2\mathrm{d}x\ \left[4(2-x)-\frac{\big(x+(2-x)\big)^3-x^3}{3}\right] \\ &=\frac{1}{2} \left[4(2)(2)-2(2)^2 -\frac{8}{3}(2)+\frac{2^4}{12} \right] =\frac{1}{2} \left[8 -\frac{16}{3}+\frac{4}{3} \right] \\ &=2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that the planes $z = x + y$ and $z = 2$ intersect along the line $x+y=2$ , $z=2$ .

$\begin{aligned} E &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 2,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2-x,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \end{aligned}$

and the mass of $E$ is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 10번우리말 번역

$T$ 를 좌표평면 $x = 0$ , $y = 0$ , $z = 0$ 과 평면 $x + y + z = 1$ 로 둘러싸인 사면체라 하자. 다음을 계산하세요.

$K = \iiint _T \frac{1}{ (1 + x + y + z)^4}\ \mathrm{d}V$

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평면 $x+y+z=1$ 은 좌표평면 $z=0$ 과 직선 $x+y=1$ , $z=0$ 을 따라 만난다. 따라서

$\begin{aligned} T&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge0,\ x+y\le 1,\ 0\le z\le 1-x-y\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x,\ 0\le z\le 1-x-y\ \big\} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} K&=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\int_0^{1-x-y}\mathrm{d}z\ \frac{1}{ (1 + x + y + z)^4} \\[0.1in] &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\ \left[-\frac{1}{ 3(1 + x + y + z)^3}\right]_{z=0}^{z=1-x-y} \\[0.1in] &=\frac{1}{3}\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\ \left[\frac{1}{(1 + x + y)^3} - \frac{1}{2^3}\right] \\[0.1in] &=\frac{1}{3}\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[-\frac{1}{2(1 + x + y)^2} - \frac{y}{2(4)}\right]_{y=0}^{y=1-x} \\[0.1in] &=\frac{1}{6}\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[\frac{1}{(1 + x)^2}-\frac{1}{2^2}- \frac{1-x}{4}\right] =\frac{1}{6}\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[\frac{1}{(1 + x)^2} -\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\right] \\[0.1in] &=\frac{1}{6} \left[-\frac{1}{1 + x} -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{8}\right]_{x=0}^{x=1} =\frac{1}{6} \left[1-\frac{1}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\right] \\[0.1in] &=\frac{1}{48} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류