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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

삼중적분 ∭Ex dV\iiint _E x\ \mathrm{d}V 의 값을 구하세요. 여기서 EE 는 포물기둥 y=x2y = x^2 과 평면 y+z=1y + z = 1, x=0x = 0, z=0z = 0 으로 둘러싸인 제1팔분공간의 영역이다.

영어 원문 보기

Evaluate the triple integral ∭Ex dV\iiint _E x\ \mathrm{d}V, where EE is the region in the first octant bounded by the parabolic cylinder y=x2y = x^2 and the planes y+z=1y + z = 1, x=0x = 0, and z=0z = 0.

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먼저 EE 가 어떤 모양인지 파악해야 한다. 다음은 포물기둥 y=x2y=x^2 (왼쪽)과 평면 y+z=1y+z=1 (오른쪽)의 그림이다.

그림

그림

EE 는 평면 y+z=1y+z=1 로 포물기둥 y=x2y=x^2 의 윗부분을 잘라 내어 만든 것이다. 그림은 다음과 같다.

그림

따라서

E={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, x2≤y≤1, 0≤z≤1−y }E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ x^2\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y\ \big\}

이고 적분은

∭Ex dV=∫01dx∫x21dy∫01−ydz x=∫01dx∫x21dy x(1−y)=∫01dx x[y−y22]x21=∫01dx [x2−x3+x52]=14−14+112=112\begin{aligned} \iiint _E x\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\int_0^{1-y}\mathrm{d}z\ x \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\ x(1-y) \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ x\left[y-\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^1 \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[\frac{x}{2} -x^3+\frac{x^5}{2}\right] \\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12} \\ &=\frac{1}{12} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

First, we need to develop an understanding of what EE looks like. Here are sketches of the parabolic cylinder y=x2y=x^2, on the left, and the plane y+z=1y+z=1, on the right.

figure

figure

EE is constructed by using the plane y+z=1y+z=1 to chop the top off of the parabolic cylinder y=x2y=x^2. Here is a sketch.

figure

So

E={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, x2≤y≤1, 0≤z≤1−y }E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ x^2\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y\ \big\}

and the integral

∭Ex dV=∫01dx∫x21dy∫01−ydz x=∫01dx∫x21dy x(1−y)=∫01dx x[y−y22]x21=∫01dx [x2−x3+x52]=14−14+112=112\begin{aligned} \iiint _E x\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\int_0^{1-y}\mathrm{d}z\ x \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\ x(1-y) \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ x\left[y-\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^1 \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[\frac{x}{2} -x^3+\frac{x^5}{2}\right] \\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12} \\ &=\frac{1}{12} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 11번우리말 번역

EE 를 제1팔분공간에서 평면 z=x+yz = x + y 의 위쪽이면서 평면 z=2z = 2 의 아래쪽에 있는 부분이라 하자. EE 안에서의 밀도는 ρ(x,y,z)=z\rho(x, y, z) = z 이다. EE 의 질량을 구하세요.

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평면 z=x+yz = x + y 와 z=2z = 2 는 직선 x+y=2x+y=2, z=2z=2 를 따라 만난다는 점에 주목한다.

그림

따라서

E={ (x,y,z) ∣ x≥0, y≥0, x+y≤2, x+y≤z≤2 }={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤2, 0≤y≤2−x, x+y≤z≤2 }\begin{aligned} E &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 2,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \\ &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2-x,\ x+y\le z\le 2\ \big\} \end{aligned}

이고 EE 의 질량은

∭Eρ(x,y,z) dV=∫02dx∫02−xdy∫x+y2dz z=12∫02dx∫02−xdy [4−(x+y)2]=12∫02dx [4(2−x)−(x+(2−x))3−x33]=12[4(2)(2)−2(2)2−83(2)+2412]=12[8−163+43]=2\begin{aligned} \iiint _E \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V &=\int_0^2\mathrm{d}x \int_0^{2-x}\mathrm{d}y \int_{x+y}^2\mathrm{d}z\ z \\ &=\frac{1}{2}\int_0^2\mathrm{d}x \int_0^{2-x}\mathrm{d}y \ \big[4-(x+y)^2\big] \\ &=\frac{1}{2}\int_0^2\mathrm{d}x\ \left[4(2-x)-\frac{\big(x+(2-x)\big)^3-x^3}{3}\right] \\ &=\frac{1}{2} \left[4(2)(2)-2(2)^2 -\frac{8}{3}(2)+\frac{2^4}{12} \right] =\frac{1}{2} \left[8 -\frac{16}{3}+\frac{4}{3} \right] \\ &=2 \end{aligned}

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