삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 13번

CLP-3 · 3.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

$E$ 를 좌표평면, 평면 $x + y = 1$ , 곡면 $z = y^2$ 으로 둘러싸인 제1팔분공간의 영역이라 하자. $\iiint _E z\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $E$ be the region in the first octant bounded by the coordinate planes, the plane $x + y = 1$ and the surface $z = y^2$ . Evaluate $\iiint _E z\ \mathrm{d}V$ .

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먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 파악해야 한다. 다음은 평면 $x+y=1$ (왼쪽)과, 좌표평면 $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 및 평면 $x+y=1$ 로 둘러싸인 "탑"(오른쪽)의 그림이다.

다음은 포물기둥 $z=y^2$ (왼쪽)이다. $E$ 는 포물기둥 $z=y^2$ 으로 탑 $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ , $x+y\le 1$ 의 윗부분을 잘라 내어 만든 것이다. 오른쪽 그림은 그 모양이다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x,\ 0\le z\le y^2\ \big\}$

이고 적분은

$\begin{aligned} \iiint _E z\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\int_0^{y^2}\mathrm{d}z\ z \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\ \frac{y^4}{2} \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ \frac{(1-x)^5}{10} \\ &=\left[-\frac{(1-x)^6}{60}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{60} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, we need to develop an understanding of what $E$ looks like. Here are sketches of the plane $x+y=1$ , on the left, and of the “tower” bounded by the coordinate planes $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ and the plane $x+y=1$ , on the right.

Now here is the parabolic cylinder $z=y^2$ on the left. $E$ is constructed by using the parabolic cylinder $z=y^2$ to chop the top off of the tower $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ , $x+y\le 1$ . The figure on the right is a sketch.

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1-x,\ 0\le z\le y^2\ \big\}$

and the integral

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 12번우리말 번역

삼중적분 $\iiint _E x\ \mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요. 여기서 $E$ 는 포물기둥 $y = x^2$ 과 평면 $y + z = 1$ , $x = 0$ , $z = 0$ 으로 둘러싸인 제1팔분공간의 영역이다.

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먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 파악해야 한다. 다음은 포물기둥 $y=x^2$ (왼쪽)과 평면 $y+z=1$ (오른쪽)의 그림이다.

$E$ 는 평면 $y+z=1$ 로 포물기둥 $y=x^2$ 의 윗부분을 잘라 내어 만든 것이다. 그림은 다음과 같다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ x^2\le y\le 1,\ 0\le z\le 1-y\ \big\}$

이고 적분은

$\begin{aligned} \iiint _E x\ \mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\int_0^{1-y}\mathrm{d}z\ x \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^1\mathrm{d}y\ x(1-y) \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ x\left[y-\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^1 \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\ \left[\frac{x}{2} -x^3+\frac{x^5}{2}\right] \\ &=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12} \\ &=\frac{1}{12} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류