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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

EE를 원기둥 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 의 내부에 있으면서, 평면 z=yz = y 아래에 있고 평면 z=−1z = -1 위에 있는 영역이라 하자. 적분

∭Ef(x,y,z) dV\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V

을 적분 순서가 (a) dz dx dy\mathrm{d}z\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, (b) dx dy dz\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z, 그리고 (c) dy dz dx\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x 인 서로 다른 세 가지 반복적분으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let E be the region inside the cylinder x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, below the plane z=yz = y and above the plane z=−1z = -1. Express the integral

∭Ef(x,y,z) dV\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V

as three different iterated integrals corresponding to the orders of integration: (a) dz dx dy\mathrm{d}z\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y, (b) dx dy dz\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z, and (c) dy dz dx\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x.

정답·풀이 보기

(a) 영역 EE 는 다음과 같다.

E={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, −1≤z≤y }\begin{aligned} E &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ -1\le z\le y\ \big\} \end{aligned}

다음은 EE 의 앞쪽 절반을 빨간색으로 테두리 표시한 그림이며, 하나는 축이 없는 것이고 하나는 축이 있는 것이다.

그림

그림

적분은 다음과 같다.

∭Ef(x,y,z) dV=∫x2+y2≤1dx dy∫−1ydz f(x,y,z)=∫−11dy∫−1−y21−y2dx∫−1ydz f(x,y,z)=∫−11∫−1−y21−y2∫−1yf(x,y,z) dz dx dy\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{x^2+y^2\le 1}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\int_{-1}^y\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\mathrm{d}y\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x \int_{-1}^y\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{-1}^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

(b) 다음은 zz 가 상수인 EE 의 단면(앞쪽 절반)을 나타낸 그림이다.

그림

다음에 주목한다.

  • EE 에서 zz 는 −1-1 부터 11 까지 변한다.
  • zz 를 고정하면 xx 와 yy 는 x2+y2≤1x^2+y^2\le 1, z≤y≤1z\le y\le 1 을 만족해야 한다.

따라서

E={ (x,y,z) ∣ −1≤z≤1, z≤y≤1, −1−y2≤x≤1−y2 }\begin{aligned} E &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le z\le 1,\ z\le y\le 1,\ -\sqrt{1-y^2}\le x\le\sqrt{1-y^2}\ \big\} \end{aligned}

이고,

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11dz∫z1dy∫−1−y21−y2dx f(x,y,z)=∫−11∫z1∫−1−y21−y2f(x,y,z) dx dy dz\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1\mathrm{d}z\int_z^1\mathrm{d}y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\int_z^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \end{aligned}

이다.

(c) 다음은 xx 가 상수인 EE 의 단면을 나타낸 그림이다.

그림

다음에 주목한다.

  • EE 에서 xx 는 −1-1 부터 11 까지 변한다.
  • xx 를 고정하면 yy 와 zz 는 다음을 만족해야 한다.

−1−x2≤y≤1−x2−1≤z≤y-\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}\qquad -1\le z\le y

다음은 이를 나타낸 그림이다.

그림

다음에 주목한다.

  • zz 는 −1-1 부터 1−x2\sqrt{1-x^2} 까지 변한다.
  • −1-1 과 −1−x2-\sqrt{1-x^2} 사이의 각 zz 에 대해, yy 는 −1−x2-\sqrt{1-x^2} 부터 1−x2\sqrt{1-x^2} 까지 변하고,
  • −1−x2-\sqrt{1-x^2} 과 1−x2\sqrt{1-x^2} 사이의 각 zz 에 대해, yy 는 zz 부터 1−x2\sqrt{1-x^2} 까지 변한다.

따라서

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11dx∫−1−1−x2dz∫−1−x21−x2dy f(x,y,z)+∫−11dx∫−1−x21−x2dz∫z1−x2dy f(x,y,z)\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_{-1}^{-\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}z \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}y \ f(x,y,z) \\ & +\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}z \int_z^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}y \ f(x,y,z) \end{aligned}

또는

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11∫−1−1−x2∫−1−x21−x2f(x,y,z) dy dz dx+∫−11∫−1−x21−x2∫z1−x2f(x,y,z) dy dz dx\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1 \int_{-1}^{-\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x \\ & +\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_z^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The region EE is

E={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, −1≤z≤y }\begin{aligned} E &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ -1\le z\le y\ \big\} \end{aligned}

Here is are sketches, one without axes and one with axes, of the front half of EE, outlined in red.

figure

figure

The integral

∭Ef(x,y,z) dV=∫x2+y2≤1dx dy∫−1ydz f(x,y,z)=∫−11dy∫−1−y21−y2dx∫−1ydz f(x,y,z)=∫−11∫−1−y21−y2∫−1yf(x,y,z) dz dx dy\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{x^2+y^2\le 1}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\int_{-1}^y\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\mathrm{d}y\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x \int_{-1}^y\mathrm{d}z\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{-1}^y f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

(b) Here is a sketch of (the front half of) a constant zz slice of EE.

figure

Note that

  • in EE, zz runs from −1-1 to 11.
  • Once zz has been fixed, xx and yy must obey x2+y2≤1x^2+y^2\le 1, z≤y≤1z\le y\le 1

So

E={ (x,y,z) ∣ −1≤z≤1, z≤y≤1, −1−y2≤x≤1−y2 }\begin{aligned} E &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ -1\le z\le 1,\ z\le y\le 1,\ -\sqrt{1-y^2}\le x\le\sqrt{1-y^2}\ \big\} \end{aligned}

and

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11dz∫z1dy∫−1−y21−y2dx f(x,y,z)=∫−11∫z1∫−1−y21−y2f(x,y,z) dx dy dz\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1\mathrm{d}z\int_z^1\mathrm{d}y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x\ f(x,y,z) \\ &=\int_{-1}^1\int_z^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \end{aligned}

(c) Here is a sketch of a constant xx slice of EE.

figure

Note that

  • in EE, xx runs from −1-1 to 11.
  • Once xx has been fixed, yy and zz must obey

−1−x2≤y≤1−x2−1≤z≤y-\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}\qquad -1\le z\le y

Here is a sketch.

figure

Note that

  • zz runs from −1-1 to 1−x2\sqrt{1-x^2}.
  • For each zz between −1-1 and −1−x2-\sqrt{1-x^2}, yy runs from −1−x2-\sqrt{1-x^2} to 1−x2\sqrt{1-x^2}, while
  • for each zz between −1−x2-\sqrt{1-x^2} and 1−x2\sqrt{1-x^2}, yy runs from zz to 1−x2\sqrt{1-x^2}.

So

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11dx∫−1−1−x2dz∫−1−x21−x2dy f(x,y,z)+∫−11dx∫−1−x21−x2dz∫z1−x2dy f(x,y,z)\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_{-1}^{-\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}z \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}y \ f(x,y,z) \\ & +\int_{-1}^1\mathrm{d}x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}z \int_z^{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}y \ f(x,y,z) \end{aligned}

or

∭Ef(x,y,z) dV=∫−11∫−1−1−x2∫−1−x21−x2f(x,y,z) dy dz dx+∫−11∫−1−x21−x2∫z1−x2f(x,y,z) dy dz dx\begin{aligned} \iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V &=\int_{-1}^1 \int_{-1}^{-\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x \\ & +\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_z^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.4절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서, E={(x,y,z)∣g1(y)≤x≤g2(y),c≤y≤d,e≤z≤f}E=\{(x,y,z)|{g}_{1}(y)\le x\le {g}_{2}(y),c\le y\le d,e\le z\le f\} 꼴의 유계 영역 EE 위에서 삼중적분의 값을 구하세요.

∭Ex2dV\iiint_{E}{x}^{2}dV, 여기서 E={(x,y,z)∣1−y2≤x≤y2−1,−1≤y≤1,1≤z≤2}E=\{(x,y,z)|1-{y}^{2}\le x\le {y}^{2}-1,-1\le y\le 1,1\le z\le 2\}

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