삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 20번

CLP-3 · 3.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

$E$ 가 평면 $y=0$ , $z=0$ , $x+y=2$ 와 원기둥 $y^2+z^2=1$ 로 둘러싸인 제1팔분공간의 영역일 때, $\iiint _E z\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\iiint _E z\,\mathrm{d}V$ , where $E$ is the region bounded by the planes $y=0$ , $z=0$ $x+y=2$ and the cylinder $y^2+z^2=1$ in the first octant.

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정답·풀이 보기

원기둥 $y^2+z^2=1$ 은 $x$ 축을 중심축으로 한다. 제1팔분공간에 있는 원기둥 부분은 평면 $z=0$ 과 직선 $y= 1$ 에서 만나고, 평면 $y=0$ 과 직선 $z=1$ 에서 만나며, 평면 $x=0$ 과 사분원 $y^2+z^2=1$ , $x=0$ , $y,z\ge 0$ 에서 만난다. 다음은 $E$ 의 개략도이다.

위에서 내려다보면 영역 $E$ 는 직선 $x=0$ , $y=0$ , $x+y=2$ , $y=1$ 로 둘러싸여 있다. 이 밑면 영역은 아래 그림과 같다.

적분 영역을 나타내기 위해 위 그림과 같이 밑면 영역을 가로 띠로 나눈다. 밑면 영역에서

$y$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
$0$ 과 $1$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $0$ 에서 $2-y$ 까지 변한다.
밑면 영역의 각 고정된 $(x,y)$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\sqrt{1-y^2}$ 까지 변한다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le 2-y,\ 0\le z\le\sqrt{1-y^2} \ \big\}$

이고

$\begin{aligned} \iiint _E z\,\mathrm{d}V&=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}z\ z\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\ \frac{1}{2} z^2\Big|_0^{\sqrt{1-y^2}} \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\ \frac{1}{2} (1-y^2) \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\ \frac{1}{2} (1-y^2)(2-y) =\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{d}y\ \big(2-y-2y^2+y^3\big) \\ &=\frac{1}{2}\left[2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right] =\frac{13}{24}\approx 0.5417 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The cylinder $y^2+z^2=1$ is centred on the $x$ axis. The part of the cylinder in the first octant intersects the plane $z=0$ in the line $y= 1$ , intersects to plane $y=0$ in the line $z=1$ and intersects the plane $x=0$ in the quarter circle $y^2+z^2=1$ , $x=0$ , $y,z\ge 0$ . Here is a sketch of $E$ .

Viewed from above, the region $E$ is bounded by the lines $x=0$ , $y=0$ , $x+y=2$ and $y=1$ . This base region is pictured below.

To set up the domain of integration, let's decompose the base region into horizontal strips as in the figure above. On the base region

$y$ runs from $0$ to $1$ and
for each fixed $y$ between $0$ and $1$ , $x$ runs from $0$ to $2-y$ .
For each fixed $(x,y)$ in the base region $z$ runs from $0$ to $\sqrt{1-y^2}$

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le 2-y,\ 0\le z\le\sqrt{1-y^2} \ \big\}$

and

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 19번우리말 번역

$E$ 를 평면 $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ 과 곡면 $z=x^2$ 으로 둘러싸인 영역이라 하자. 다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

아래 빈칸을 채우세요. 아래 각 부분에서 답을 나타내는 데 적분이 하나만 필요할 수도 있습니다. 그 경우 나머지 적분은 비워 두세요.

(a) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

(b) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

(c) $\displaystyle I=\int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z + \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z$

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $E$ 가 어떤 모양인지 파악해야 한다. 방정식 $y=0$ , $y=2$ , $y+z=3$ , $z=x^2$ 은 모두 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않는다. 따라서 $E$ 는 $x\rightarrow -x$ 에 대해 변하지 않으며, 즉 $yz$ 평면에 대해 대칭이다. $E$ 의 제1팔분공간(즉 $x,y,z\ge 0$ ) 부분을 그려 보자. $x\le 0$ , $y\ge 0$ , $z\ge 0$ 인 부분도 있다.

다음은 왼쪽에 평면 $y=2$ , 가운데에 평면 $y+z=3$ , 오른쪽에 좌표평면 $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 과 평면 $y=2$ , $y+z=3$ 으로 둘러싸인 "터널"의 그림이다.

이제 왼쪽 그림은 포물기둥 $z=x^2$ 이다. $E$ 는 포물기둥 $z=x^2$ 으로 터널 $x\ge 0$ , $0\le y\le 2$ , $z\ge 0$ , $y+z\le 3$ 의 앞부분을 잘라 내어 만든 것이다. 오른쪽 그림이 그 개략도이다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

(a) $E$ 에서

$y$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $y$ 에 대해 $(x,z)$ 는 $\big\{ \ (x,z)\ \big|\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$ 위를 움직인다.
특히 $x^2$ 의 최댓값은 $3-y$ 이다( $z=3-y$ 일 때). 따라서 $x$ 는 $-\sqrt{3-y}$ 부터 $\sqrt{3-y}$ 까지 변한다.
위와 같은 고정된 $y$ , $x$ 에 대해 $z$ 는 $x^2$ 부터 $3-y$ 까지 변한다.

그러므로

$\begin{aligned} I=\iiint _E f(x,y,z)\ \mathrm{d}V = \int_0^2 \int_{-\sqrt{3-y}}^{\sqrt{3-y}} \int_{x^2}^{3-y} f(x,y,z)\ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

(b) $E$ 에서

$z$ 는 $0$ 부터 $3$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\} =\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$

특히 $y$ 는 $0$ 부터 $2$ 와 $3-z$ 중 작은 값까지 변한다.

따라서 $0\le z\le 1$ 이면( $3-z\ge 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직이고,
$1\le z\le 3$ 이면 ( $3-z\le 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직인다.

그러므로

$\begin{aligned} I= \int_0^1 \int_0^2 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z +\int_1^3 \int_0^{3-z} \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \end{aligned}$

$z$ 는 $0$ 부터 $3$ 까지 변한다.
그 범위의 각 고정된 $z$ 에 대해 $(x,y)$ 는 다음 집합 위를 움직인다.

$\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\le 3-y\ \big\}$

특히 $y$ 는 $0$ 부터 $2$ 와 $3-z$ 중 작은 값까지 변한다.

따라서 $0\le z\le 1$ 이면( $3-z\ge 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 2,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직이고,
$1\le z\le 3$ 이면 ( $3-z\le 2$ 이므로) $(x,y)$ 는 $\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 3-z,\ x^2\le z\ \big\}$ 위를 움직인다.

그러므로

$\begin{aligned} I= \int_0^1 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}}\int_0^2 f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z +\int_1^3 \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \int_0^{3-z} f(x,y,z)\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류