삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.5절 · 22번

CLP-3 · 3.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

고체 영역 $T$ 는 평면 $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ , $x+y+z=2$ 와 곡면 $x^2+z=1$ 로 둘러싸여 있다.

(a) 모든 꼭짓점의 좌표를 표시하여 이 영역을 그리세요. (b) $\iiint _T x\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The solid region $T$ is bounded by the planes $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ , and $x+y+z=2$ and the surface $x^2+z=1$ .

(a) Draw the region indicating coordinates of all corners. (b) Calculate $\iiint _T x\,\mathrm{d}V$ .

정답·풀이 보기

(a) 다음은 이 영역의 3차원 그림이다. 표시된 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다.

$a=(0,0,1)\quad b=(0,0,0)\quad c=(1,0,0)\quad d=(0,1,1)\quad f=(0,2,0)\quad g=(1,1,0)$

(b) 다음은 $y$ 축 방향으로 내려다본 $T$ 의 옆모습 그림이다.

이것을 밑면 영역으로 삼아 적분 구간을 정한다. 위 그림처럼 밑면 영역을 수직 띠로 분할한다. 밑면 영역에서

$x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
$0$ 과 $1$ 사이의 각 고정된 $x$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $1-x^2$ 까지 변한다.
$T$ 에서 밑면 영역의 각 고정된 $(x,y)$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 에서 $2-x-z$ 까지 변한다.

따라서

$\begin{aligned} \iiint _T x\,\mathrm{d}V &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}z\int_0^{2-x-z}\mathrm{d}y\ x =\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}z\ (2-x-z)x\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}x\ \left[x(2-x)(1-x^2)-\frac{1}{2} x{(1-x^2)}^2\right] \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}x\ \left[2x-x^2-2x^3+x^4-\frac{1}{2} x+x^3 -\frac{1}{2} x^5\right] \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}x\ \left[\frac{3}{2}x-x^2-x^3+x^4-\frac{1}{2} x^5\right] \\ &=\left[\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5 -\frac{1}{12}x^6\right]_0^1 \\ &=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{12} =\frac{17}{60} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Here is a 3d sketch of the region. The coordinates of the labelled corners are

$a=(0,0,1)\quad b=(0,0,0)\quad c=(1,0,0)\quad d=(0,1,1)\quad f=(0,2,0)\quad g=(1,1,0)$

(b) Here is a sketch of the side view of $T$ , looking down the $y$ axis.

We'll set up the limits of integration by using it as the base region. We decompose the base region into vertical strips as in the figure above. On the base region

$x$ runs from $0$ to $1$ and
for each fixed $x$ between $0$ and $1$ , $z$ runs from $0$ to $1-x^2$ .
In $T$ , for each fixed $(x,y)$ in the base region, $y$ runs from $0$ to $2-x-z$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.5절 · 20번우리말 번역

$E$ 가 평면 $y=0$ , $z=0$ , $x+y=2$ 와 원기둥 $y^2+z^2=1$ 로 둘러싸인 제1팔분공간의 영역일 때, $\iiint _E z\,\mathrm{d}V$ 의 값을 구하세요.

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원기둥 $y^2+z^2=1$ 은 $x$ 축을 중심축으로 한다. 제1팔분공간에 있는 원기둥 부분은 평면 $z=0$ 과 직선 $y= 1$ 에서 만나고, 평면 $y=0$ 과 직선 $z=1$ 에서 만나며, 평면 $x=0$ 과 사분원 $y^2+z^2=1$ , $x=0$ , $y,z\ge 0$ 에서 만난다. 다음은 $E$ 의 개략도이다.

위에서 내려다보면 영역 $E$ 는 직선 $x=0$ , $y=0$ , $x+y=2$ , $y=1$ 로 둘러싸여 있다. 이 밑면 영역은 아래 그림과 같다.

적분 영역을 나타내기 위해 위 그림과 같이 밑면 영역을 가로 띠로 나눈다. 밑면 영역에서

$y$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 변하고,
$0$ 과 $1$ 사이의 각 고정된 $y$ 에 대해 $x$ 는 $0$ 에서 $2-y$ 까지 변한다.
밑면 영역의 각 고정된 $(x,y)$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $\sqrt{1-y^2}$ 까지 변한다.

따라서

$E=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le 2-y,\ 0\le z\le\sqrt{1-y^2} \ \big\}$

이고

$\begin{aligned} \iiint _E z\,\mathrm{d}V&=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}z\ z\\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\ \frac{1}{2} z^2\Big|_0^{\sqrt{1-y^2}} \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\int_0^{2-y}\mathrm{d}x\ \frac{1}{2} (1-y^2) \\ &=\int_0^1 \mathrm{d}y\ \frac{1}{2} (1-y^2)(2-y) =\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{d}y\ \big(2-y-2y^2+y^3\big) \\ &=\frac{1}{2}\left[2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right] =\frac{13}{24}\approx 0.5417 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼중적분계산보통자동 분류