벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-4 · 1.1절 · 11번

CLP-4 · 1.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

$\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

옳은 답을 고르세요.

(a) $|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (b) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}$ (c) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}$ (d) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (e) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)$

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

$\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

Select the correct answer:

정답·풀이 보기

다음과 같다.

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

따라서

$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$

$2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

and hence

$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$

Since $2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ , that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 15번우리말 번역

다음 매개변수 곡선의 길이를 구하세요.

$x=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt$

단, $t=0$ 에서 $t=T>0$ 까지입니다.

다 풀었으면 정답 확인

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}$

다음을 얻는다.

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

속력 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)$ 가 상수이므로, 곡선의 길이는 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류