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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 매개변수 곡선의 길이를 구하세요.

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

단, t=0t=0 에서 t=T>0t=T>0 까지입니다.

영어 원문 보기

Find the length of the parametric curve

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

between t=0t=0 and t=T>0t=T>0.

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

다음을 얻는다.

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

속력 dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) 가 상수이므로, 곡선의 길이는 dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

we have

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

As the speed dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) is constant, the length is just dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 19번우리말 번역

평면  z=2x+3y \ z=2x+3y\ 이 원기둥  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 와 만나서 타원을 이룹니다.

(a) 이 타원의 매개변수 표현을 구하세요. (b) 이 타원의 둘레를 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다. (여기에 나오는 부정적분은 타원의 호의 길이와 관련되어 있어서 타원 적분이라고 불리는 적분들 중 하나입니다. 일반적으로 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다. 즐겨 쓰는 검색 엔진으로 타원 적분에 관한 설명을 쉽게 찾아볼 수 있습니다.)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 는 x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta 로 매개변수 표현할 수 있고, 이때 θ\theta 는 00 부터 2π2\pi 까지 변한다. z=2x+3yz=2x+3y 이므로 타원은 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) 다음이 성립하므로

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

타원의 둘레는 다음과 같다.

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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