벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-4 · 1.1절 · 12번

CLP-4 · 1.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

위치가 다음과 같은 입자의 시각 $t$ 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요.

$\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}$

입자의 경로를 설명하세요.

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time $t$ of the particle whose position is

$\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}$

Describe the path of the particle.

정답·풀이 보기

다음이 주어져 있다.

$\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}$

따라서 정의에 의해

$\begin{aligned} \text{속도}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{속력}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{가속도}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

$t$ 가 길이 $2\pi$ 인 구간을 움직이는 동안 $(x,y)$ 는 반지름이 $a$ 인 원을 그리고 $z$ 는 $2\pi c$ 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 $a$ 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 $2\pi c$ 만큼 올라가는 나선이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that

$\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}$

So, by definition,

$\begin{aligned} \text{velocity}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{speed}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{acceleration}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

As $t$ runs over an interval of length $2\pi$ , $(x,y)$ traces out a circle of radius $a$ and $z$ increases by $2\pi c$ . The path is a helix with radius $a$ and with each turn having height $2\pi c$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 11번우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

$\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

옳은 답을 고르세요.

(a) $|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (b) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}$ (c) $|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}$ (d) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)$ (e) $|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)$

다 풀었으면 정답 확인

다음과 같다.

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$

따라서

$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$

$2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ 이므로 답은 (d)이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류