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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

평면  z=2x+3y \ z=2x+3y\ 이 원기둥  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 와 만나서 타원을 이룹니다.

(a) 이 타원의 매개변수 표현을 구하세요. (b) 이 타원의 둘레를 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다. (여기에 나오는 부정적분은 타원의 호의 길이와 관련되어 있어서 타원 적분이라고 불리는 적분들 중 하나입니다. 일반적으로 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다. 즐겨 쓰는 검색 엔진으로 타원 적분에 관한 설명을 쉽게 찾아볼 수 있습니다.)

영어 원문 보기

The plane  z=2x+3y \ z=2x+3y\ intersects the cylinder  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ in an ellipse.

(a) Find a parametrization of the ellipse. (b) Express the circumference of this ellipse as an integral. You need not evaluate the integral (The indefinite integral involved is one of a class of integrals called elliptic integrals because of their connections to arc lengths of ellipses. In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions. You can easily find discussions of elliptic integrals using your favourite search engine.).

정답·풀이 보기

(a) 원  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 는 x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta 로 매개변수 표현할 수 있고, 이때 θ\theta 는 00 부터 2π2\pi 까지 변한다. z=2x+3yz=2x+3y 이므로 타원은 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) 다음이 성립하므로

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

타원의 둘레는 다음과 같다.

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can parametrize the circle  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ as x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta with θ\theta running from 00 to 2π2\pi. As z=2x+3yz=2x+3y, the ellipse can be parametrized by

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) As

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

the circumference is

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 29번우리말 번역

반지름이 3인 관이 곡선 r(t)=(223t3/2 , 12t2 , t+2)\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2) (0≤t≤100 \le t \le 10)의 경로를 따라 놓여 있다.

이 관의 내부 부피를 구하세요. 또 이 관의 겉넓이를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

파푸스의 정리를 이용하면, 이 관과 길이와 반지름이 같은 관의 겉넓이와 부피를 계산할 수 있다. 따라서 관의 길이 LL을 구해야 한다.

drdt=(2t,t,1)∣drdt∣=2t+t2+1=∣t+1∣L=∫010(t+1)dt=60\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}

반지름이 3이고 길이가 60인 관의 겉넓이는 60(2π⋅3)=360π60(2\pi\cdot 3)=360\pi이고, 부피는 60(π⋅32)=540π60(\pi \cdot3^2)=540\pi이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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