벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-4 · 1.1절 · 29번

CLP-4 · 1.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

반지름이 3인 관이 곡선 $\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2)$ ( $0 \le t \le 10$ )의 경로를 따라 놓여 있다.

이 관의 내부 부피를 구하세요. 또 이 관의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

A pipe of radius 3 follows the path of the curve $\mathbf{r}(t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2}~,~\frac12t^2~,~t+2)$ , for $0 \le t \le 10$ .

What is the volume inside the pipe? What is the surface area of the pipe?

정답·풀이 보기

파푸스의 정리를 이용하면, 이 관과 길이와 반지름이 같은 관의 겉넓이와 부피를 계산할 수 있다. 따라서 관의 길이 $L$ 을 구해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}&=(\sqrt{2t},t,1)\\ \left| \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|&=\sqrt{2t+t^2+1}=|t+1|\\ L&=\int_0^{10}(t+1)\mathrm{d}t=60 \end{aligned}$

반지름이 3이고 길이가 60인 관의 겉넓이는 $60(2\pi\cdot 3)=360\pi$ 이고, 부피는 $60(\pi \cdot3^2)=540\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the Theorem of Pappus, we can calculate the surface area and volume of a pipe with the same length and radius as this pipe. So, we need to find the length of the pipe, $L$ .

A pipe with radius 3 and length 60 has surface area $60(2\pi\cdot 3)=360\pi$ and volume $60(\pi \cdot3^2)=540\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 28번우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라가 한 물체를 추적하고 있는데, 시각 $t$ 초에서 그 물체의 위치는 기둥으로부터 동쪽으로 $x(t)$ 미터, 북쪽으로 $y(t)$ 미터이다.

카메라가 항상 물체를 똑바로 향하려면, 시각 $t$ 에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 프로그램해야 하는지 구하세요. (답은 $x(t)$ , $y(t)$ 및 이들의 도함수를 이용하여 rad/sec 단위로 나타내세요.)

다 풀었으면 정답 확인

이 문제는 이미 카메라를 원점으로 하는 $xy$ 평면으로 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 $(x(t),y(t))$ 이다. $\theta$ 를 카메라가 양의 $x$ 축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 $x$ 축)은 직각삼각형을 이룬다.

$\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류