벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-4 · 1.1절 · 22번

CLP-4 · 1.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡선 $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ ( $0 \le a \le t \le b$ , 단 $m > 0$ ) 의 곡선의 길이를 구하세요. 결과를 $m$ , $a$ , $b$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve $\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)$ for $0 \le a \le t \le b$ , and where $m > 0$ . Express your result in terms of $m$ , $a$ , and $b$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}$

이므로 곡선의 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{단, } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since

the arc length is

$\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 11.2절 · 3번우리말 번역

일반적으로 $\vec r(t)$ 와 $\vec r\,'(t)$ 의 그래프를 같은 좌표축에 함께 그리는 것이 유용하지 않은 이유는 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

$\vec r(t)$ 의 그래프와 $\vec r\,'(t)$ 의 그래프에서 서로 대응하는 점을 찾아내기 어렵기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류