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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

질량이 m=1m = 1 인 입자가 시각 00 에서 위치 r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 이고 속도 v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 tt 에 대한 식으로 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=0x = 0 을 처음으로 지나는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 x=0x = 0 을 지날 때의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle of mass m=1m = 1 has position r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} and velocity v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} at time 00. It moves under a force

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) Determine the position r(t)\mathbf{r}(t) of the particle depending on tt. (b) At what time after time t=0t = 0 does the particle cross the plane x=0x = 0 for the first time? (c) What is the velocity of the particle when it crosses the plane x=0x = 0 in part (b)?

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 법칙에 따라

mr′′(t)=F(t)이므로r′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

한 번 적분하면

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 에서 c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} 이므로

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

한 번 더 적분하면

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 에서 c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} 이므로

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) 입자가 평면 x=0x=0 위에 있는 것은

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

일 때이다. 따라서 구하는 시각은 t=πt=\pi 이다.

(c) 시각 t=πt=\pi 에서의 속도는

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) According to Newton,

mr′′(t)=F(t)so thatr′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{so that}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

Integrating once gives

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

for some constant vector c\mathbf{c}. We are told that r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}. This forces c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} so that

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating a second time gives

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

for some (other) constant vector c\mathbf{c}. We are told that r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}. This forces c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} so that

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b) The particle is in the plane x=0x=0 when

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

So the desired time is t=πt=\pi.

(c) At time t=πt=\pi, the velocity is

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 31번우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항으로 느려지는 발사체의 위치는 다음을 만족한다.

d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}

여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이 등식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이므로

u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면

drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. 이 등식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이므로

r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

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# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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